Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit – Giải toán lớp 12

Chắc hẳn sau khi học xong bài học trước, bạn đã có thể đoán được nội dung của bài học ngày hôm nay rồi đúng không nào? Đúng như dự đoán của bạn, hôm nay Wikihoctap sẽ giới thiệu về bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit. Cùng tìm hiểu về cách giải 2 loại bất phương trình này trong bài giảng sau đây nhé!

Mục tiêu bài học Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit

• Nắm được phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit.
• Giải được các dạng bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit.

Lý thuyết cần nắm bài Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit

Sau đây là những lý thuyết trọng tâm nhất được Wikihoctap biên soạn, giúp các bạn nắm vững bài học và tạo nền tảng giúp các bạn học sinh áp dụng giải các bài tập:

I. Bất phương trình mũ

1. Bất phương trình mũ cơ bản

a. Định nghĩa

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x>b (hoặc a^x≥b, a^x<b, a^x≤b) với a>0, a≠1

Ví dụ: 2^x≥3; 3^x<5 là các bất phương trình mũ

b. Cách giải

Ta xét bất phương trình dạng a^x>b .

Nếu b≤0, tập nghiệm của bất phương trình là R vì a^x>0≥b, ∀x∈R.

Nếu b>0, bất phương trình tương đương với a^x>a^log_ab.

Với a>0 nghiệm của bất phương trình là x>log_ab.

Với 0<a<1,  nghiệm của bất phương trình là  x<log_ab.

Tập nghiệm của bất phương trình a^x>b  được cho trong bảng sau:

Tương tự, ta có tập nghiệm của bất phương trình a^x<b được cho trong bảng sau:

2.Một số dạng bài bất phương trình mũ đơn giản.

a. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Nếu a>1  thì a^f(x)<a^g(x)⇔f(x)<g(x)

Nếu 0<a<1  thì a^f(x)<a^g(x)⇔f(x)>g(x)

Ví dụ: Giải bất phương trình 3^x> 81

3^x>81 ⇔ 3^x>34

Vì cơ số 3 lớn hơn 1 nên x>4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng (4,+∞)

b. Phương pháp logarit hóa

Ví dụ: Giải bất phương trình 3^x+1>2^x

c. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải bất phương trình 4^x−2.5^2x<10^x.

II. Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình lôgarit cơ bản

a. Định nghĩa

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng log_ax>b hoặc log_ax<b,log_ax≤b,log_ax≥b ,với a>0,a≠1.

Ví dụ: log₂x>6;log_0,5x>5 là các bất phương trình mũ lôgarit.

b. Cách giải

Xét bất phương trình log_ax>b

Trường hợp a>1  ta có: log_ax>b⇔x>a^b  

Trường hợp 0<a<1 ta có: log_ax>b⇔0<x<a^b 

2.Một số cách giải bất phương trình lôgarit đơn giản.

a. Biến đổi về cùng cơ số.

Nếu a>1  thì  log_af(x)<log_ag(x)⇔0<f(x)<g(x).

Nếu 0<a<1  thì log_af(x)<log_ag(x)⇔0<g(x)<f(x).

b. Phương pháp mũ hóa

Ví dụ: Giải bất phương trình log₂(2^x+4)≥x+1

Giải

Vì 2^x+4>0,∀x∈R

Nên  log₂(2^x+4)≥x+1⇔2^x+4≥2^x+1⇔2x≤4⇔x≤2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  (−∞;2].

c. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải bất phương trình: (log₃x)²−5log₃x−6≤0

Bài học này khá nhiều lý thuyết quan trọng đúng không nào, các bạn có thể kết hợp học lý thuyết cùng video hướng dẫn dưới đây để nắm chắc kiến thức hơn nhé!

Hướng dẫn giải bài tập Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit

Phần bài tập trong sách giáo khoa rất sát với lý thuyết nên các bạn cố gắng hoàn thành hết nhé!

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 6 trang 86

Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình a^x ≥ b, a^x < b, a^x ≤ b.

Hướng dẫn giải:

ax > b	Tập nghiệm
	a > 1	0 < a < 1
b ≤ 0	R	R
b > 0	[logab ; +∞)	(-∞,logab]

ax < b	Tập nghiệm
	a > 1	0 < a < 1
b ≤ 0	Vô nghiệm	Vô nghiệm
b > 0	(-∞,logab)	(logab ; +∞)

ax ≤ b	Tập nghiệm
	a > 1	0 < a < 1
b ≤ 0	Vô nghiệm	Vô nghiệm
b > 0	(-∞,logab]	[logab ; +∞)

 

Đặt 2^x = t. ĐK: t > 0. Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:

 

loga⁡x ≥ b	a > 1	0 < a < 1
Nghiệm	x ≥ ab	0 < x ≤ ab

logax < b	a > 1	0 < a < 1
Nghiệm	0 < x < ab	x > ab

loga⁡x ≤ b	a > 1	0 < a < 1
Nghiệm	0 < x ≤ ab	x ≥ ab

 

(1) ⇔ 3x + 1 < 2x + 3 ⇔ x < -2.

Bài 1 (trang 89 SGK Giải tích 12): Tính

Hướng dẫn giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm S = (-∞; 0) ∪ (1; +∞)

 

Vậy bất phương trình có tập nghiệm 

Vậy bất phương trình có tập nghiệm (-∞; 1]

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (-∞; 0) ∪ (1; +∞)

Bài 2 (trang 90 SGK Giải tích 12): Giải các bất phương trình:

Lời giải:

Vậy bất phương trình có tập nghiệm (-∞; -30)

 

Kết hợp với điều kiện xác định được x > 3.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm (3; +∞).

d) Điều kiện: x > 0.

(Bất phương trình bậc hai ẩn log₃x).

Vậy bất phương trình có tập nghiệm [9; 27].

Lời kết sau bài học Bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit

Nếu bạn đã nắm chắc kiến thức về giải bất phương trình thì việc giải bất phương trình mũ và bất phương trình Logarit sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Đây không phải là một dạng bài tập khó nhưng đòi hỏi kiên trì, nỗ lực từ phía các bạn. Hãy tiếp tục chinh phục giải tích 12 cùng với wikihoctap nhé!

Xem thêm một số bài giảng liên quan khác tại đây:

• Tổng hợp lý thuyết về hàm số
• Hàm số y = ax + b – Tổng hợp lý thuyết và các dạng bài liên quan
• Hàm số – Hướng dẫn giải bài tập
• Kiến thức về các tập hợp số – Các dạng bài tập cơ bản