Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn toán lớp 10
Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn là một nội dung mới trong chương trình đại số lớp 10. Trong bài giảng này wikihoctap sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải dạng bài tập này một cách nhanh chóng và chính xác nhất. Cùng bắt đầu bài học thôi nào!
Mục tiêu bài học:
- Nắm được hệ thống lý thuyết về bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.
- Nắm được một số phép biến đổi.
- Giải được các bài tập thuộc dạng này.
Kiến thức cần nắm bài học:
Dưới đây là các kiến thức cần nắm về bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn trong toán lớp 10:
- Bất phương trình: Là một mệnh đề so sánh giữa hai biểu thức hoặc giá trị, nhưng không yêu cầu chính xác bằng nhau. Nó cho biết mối quan hệ của chúng, có thể là lớn hơn (>) hoặc nhỏ hơn (<) hoặc lớn hơn hoặc bằng (≥) và nhỏ hơn hoặc bằng (≤).
- Các loại bất phương trình:
- Bất phương trình tuyến tính: Là dạng bất phương trình với một số hệ số cố định và một số biến. Ví dụ: ax + b < c, trong đó a, b, c là các hằng số.
- Bất phương trình không tuyến tính: Là dạng bất phương trình có chứa các biểu thức không tuyến tính như căn bậc hai, giá trị tuyệt đối. Ví dụ: √x > y.
- Hệ bất phương trình một ẩn: Là một tập hợp các bất phương trình có chung biến số. Mục tiêu là tìm miền giá trị của biến mà thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
- Cách giải bất phương trình và hệ bất phương trình:
- Dùng các phép biến đổi để diễn giải và xác định miền giá trị của biểu thức.
- Sử dụng các quy tắc cơ bản của bất phương trình như cộng, trừ, nhân, chia.
- Lưu ý giữ nguyên mặt phải (nếu có) và đảo chiều dấu nếu nhân hoặc chia với một số âm.
- Kết hợp các kết quả từng bất phương trình để tìm ra miền giá trị chung cho hệ bất phương trình.
>>Xem thêm: Bất đẳng thức – Tổng hợp kiến thức đại số lớp 10
Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
Lý thuyết về bất phương trình một ẩn
Khái niệm
Bất phương trình có một ẩn x là một mệnh đề có dạng sau đây:
f(x) < g(x)
(f(x) ≤ g(x))
Hoặc ngược lại:
g(x) > f(x)
g(x) ≥ f(x)
Trong đó, x là ẩn số
f(x) và g(x) là các biểu thức có chứa biến x
Nghiệm của bất phương trình là các số thực. Ở đây tạm gọi là x0 sao cho khi thay x0 vào bất phương trình thỏa mãn điều kiện: f(xo) < g(xo) hay f(xo) ≤ g(xo)
Khi đề bài yêu cầu giải bất phương trình, các em cần tìm các tập nghiệm cho bất phương trình đó.
Nếu không có nghiệm x0 nào thỏa mãn điều kiện của đề bài. Ta kết luận phương trình đó vô nghiệm.
Điều kiện tồn tại cho bất phương trình một ẩn
Để tìm điều kiện của bất phương trình, ta tìm các điều kiện của x. Sao cho với mọi x nằm trong điều kiện, các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa.
Bất phương trình có chứa tham số
Tham số là một hằng số tồn tại trong một bất phương trình bên cạnh những thành phần khác. Như hệ số, ẩn số. ví dụ như với BPT sau đây:
2x + m > 0,2x – m
Ở đây, m là tham số, 1 và 0,2 là hệ số và x là ẩn.
Lý thuyết về hệ bất phương trình một ẩn – Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
Định nghĩa
Hệ bất phương trình x bao gồm một số bất phương trình ẩn x. Giải bất phương trình là quá trình đi tìm kiếm những nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ đó.
Một cặp nghiệm (x0, y0) chỉ có thể được coi là nghiệm của hệ phương trình. Khi và chỉ khi chúng đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ.
Một số phép biến đổi
1. Bất phương trình tương đương
Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu “<=>” để chỉ sự tương đương đó.
2. Phép biến đổi tương đương
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.
3. Cộng (trừ)
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) < Q(x) <=> P(x) – f(x) < Q(x) – f(x)
4. Nhân (chia)
Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) < Q(x).f(x), f(x) > 0, ∀x
P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) > Q(x).f(x), f(x) < 0, ∀x
5. Bình phương
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.
P(x) < Q(x) <=> P2(x) < Q2(x), P(x) ≥ 0, Q(x) ≥ 0, ∀x
Bài tập luyện tập
Bài 1 (trang 87 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:
Lời giải
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{0; –1}
BPT xác định khi
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{–2; 1; 2; 3}
BPT xác định khi x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ –1.
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = R\{–1}
Vậy tập giá trị của x thỏa mãn điều kiện xác định là D = (–∞; 1] \ {–4}.
Bài 2 (trang 88 SGK Đại Số 10): Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:
Lời giải
a) Điều kiện xác định x ≥ –8
Ta có: 
nên 
với mọi x ≥ –8.
Do đó BPT 
vô nghiệm.
b) Tập xác định: D = R.
Do đó BPT 
vô nghiệm.
c) Tập xác định D = R.
Ta có:
Lời kết
Trên đây là toàn bộ những kiến thức lý thuyết và bài tập liên quan đến bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn. Hy vọng các em sẽ khám phá được một phương pháp giải nhanh chóng và dễ dàng nhất. Chúc các em đạt được nhiều kết quả cao trong học tập!
Xem thêm >>>
