Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác lớp 10

5/5 - (6 bình chọn)

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác là gì? Mời các em học sinh cùng tìm hiểu trong bài giảng này của Wikihoctap nhé! Bài giảng do đội ngũ giáo viên của Wikihoctap chịu trách nhiệm thiết kế sẽ đưa ra lời giải đáp hợp lý và chính xác nhất cho các em.

Mục tiêu bài học

Hiểu được các khái niệm cơ bản về các hệ thức lượng trong tam giác, bao gồm định lí cosin và định lí sin.
Biết cách áp dụng các công thức để tính toán các đại lượng liên quan tới tam giác, như cạnh, góc, diện tích.
Xác định được các quy tắc giải tam giác, bao gồm sử dụng các quy tắc phân loại tam giác (tam giác vuông, cân, đều) và sử dụng các công thức trên để tìm giá trị của các đại lượng trong tam giác.
Làm quen với việc áp dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến tam giác

Kiến thức cần nắm

Công thức cosin: (c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cdot \cos(C))
Công thức sin: (\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)})
Quy tắc phân loại tam giác: Tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.
Công thức tính diện tích tam giác: (S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C))

Nắm vững những kiến thức này sẽ giúp bạn áp dụng vào việc tính toán và giải quyết các bài tập liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác.

>> Xem thêm: Tuyển tập 20 bộ đề thi học kì 1 toán 10 mới nhất

1. Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c

Ta có

a² = b² + c² – 2bc.cosA;
b² = c² + a² – 2ca.cosB;
c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Hệ quả

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác lớp 10

2. Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Ta có

3. Độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có ma, mb, mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C.

Ta có

4. Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có

ha, hb, hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;
r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;
p = (a + b + c)/2
S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có:

Giải bài tập các hệ thức lượng trọng tam giác và giải tam giác trong sách giáo khoa

Bài 3 trang 46 sgk

a² = b² + (…..)

b² = a x (…..)

c² = a x (…..)

h² = b’ x (…..)

ah = b x (…..)

Hướng dẫn giải:

a² = b² + c²

b² = a x b’

c² = a x c’

h² = b’ x c’

ah = b x c

Bài 3 trang 48

Khi ABC là tam giác vuông, định lý côsin trở thành định lý quen thuộc nào ?

Hướng dẫn giải:

Khi ABC là tam giác vuông, định lý côsin trở thành định lý Py- ta – go.

Bài 3 trang 49

Cho tam giác ABC có a = 7cm, b = 8cm, c = 6cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến ma của tam giác ABC đã cho.

Bài 3 trang 50

Cho tam giác ABC vuông ở A nội tiếp trong đường tròn bán kính R và có BC = a, CA = b, AB = c.

Chứng minh hệ thức:

Hướng dẫn giải:

Do tam giác ABC vuông tại A nên trung điểm O của BC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ BC = a = 2R.

Ta có:

Bài 3 trang 52

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Theo định lí sin ta có:

Tam giác ABC đều nên A = 60o ⇒ sin ⁡A = √3/2

Bài 3 trang 53

Hãy viết các công thức tính diện tích tam giác theo một cạnh và đường cao tương ứng.

Hướng dẫn giải:

S = 1/2 a.h_a = 1/2 b.h_b = 1/2 c.h_c

Bài 3 trang 54

Dựa vào công thức (1) và định lý sin, hãy chứng minh S = abc/4R.

Hướng dẫn giải:

Bài 1 trang 59 SGK Hình học 10

Cho tam giác ABC vuông tại A, B̂ = 58^o và cạnh a = 72cm. Tính Ĉ, cạnh b và đường cao ha.

Hướng dẫn giải:

Ĉ + B̂ = 90º ⇒ Ĉ = 90º – B̂ = 90º – 58º = 32º
b = a.sinB = 72 . sin 58º ≈ 61,06 cm
c = a . cos B = 72 . cos 58º ≈ 38,15cm
ha = c . sin B = 38,15 . sin 58º = 32,36 cm.

Bài 2 (trang 59 SGK Hình học 10)

Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 52,1cm, b = 85cm, c = 54cm. Tính các góc Â, B̂, Ĉ.

Hướng dẫn giải:

Bài 3 (trang 59 SGK Hình học 10):

Cho tam giác ABC có Â = 120^o, cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a, các góc B̂, Ĉ của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

a² = b² + c² – 2.bc.cosA = 82 + 52 – 2.5.8.cos120º = 129 ⇒ a = √129 cm

Bài 4 (trang 59 SGK Hình học 10):

Tính diện tích S của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12.

Nửa chu vi của tam giác: p = (7 + 9 + 12)/2 = 14. Áp dụng công thức Hê–rông ta có:

Bài 5 (trang 59 SGK Hình học 10):

Cho tam giác ABC có Â = 120o. Tính cạnh BC, cho biết cạnh AC = m và cạnh AB = n.

Áp dụng định lý côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos A = m2 + n2 – 2.m.n.cos120º = m² + n² + mn

⇒ BC = √( m² + n² + mn).

Bài 6 (trang 59 SGK Hình học 10):

Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm.

a) Tam giác đó có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến MA của tam giác ABC đó.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Vậy tam giác ABC có góc C tù.

Bài 7 (trang 59 SGK Hình học 10): Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết:

a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm;

b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm, c = 37cm.

Hướng dẫn giải:

Nhận xét:

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc lớn nhất.

a) Cạnh c = 6cm lớn nhất nên góc lớn nhất là góc C:

Vậy góc lớn nhất là 117º.

b) Cạnh a = 40cm lớn nhất suy ra góc lớn nhất là góc A:

Vậy góc lớn nhất bằng 94º

Bài 8 (trang 59 SGK Hình học 10):

Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm, ∠B = 83^o và ∠C = 57^o. Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác.

Hướng dẫn giải:

Bài 9 (trang 59 SGK Hình học 10):

Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m, AC = n. Chứng minh rằng: m2 + n2 = 2(a2 + b2).

Hướng dẫn giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD. Xét ΔABC có BO là trung tuyến:

Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2. BO ⇒ BD² = 4. BO²

⇒ BD² = 2.(AB² + BC²) – AC² ⇒ BD² + AC² = 2.(AB² + BC²)

⇒ m² + n² = 2.(a² + b²) (ĐPCM).

Bài 10 (trang 60 SGK Hình học 10):

Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ra nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc ∠BPA = 35^o và ∠BQA = 48^o. Tính chiều cao của tháp.

Bài 11 (trang 60 SGK Hình học 10):

Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (hình bên). Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A₁, B₁ cùng thẳng hàng với C₁ thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được ∠DA₁C₁ = 49^o và ∠DB₁C₁ = 35^o. Tính chiều cao CD của tháp đó.

Ta có: A₁B₁ = AB = 12 m.

Xét ΔDC₁A₁ có: C₁A₁ = C₁D.cot49^o

Xét ΔDC₁B₁ có: C₁B₁ = C₁D.cot35o

Mà A₁B₁ = C₁B₁ – C₁A₁ = C₁D.cot35o – C₁D.cot49o = C₁D.(cot35^o – cot49^o) = C₁D.(cot35^o – cot49^o)

⇒ CD = CC₁ + C₁D = 1,3 + 21,47 = 22,77 m.

Vậy chiều cao của tháp là 22,77m.

Lời kết

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác là một nội dung khá phức tạp trong chương trình toán 10. Tuy nhiên, dưới sự giúp đỡ của Wikihoctap, các em hoàn toàn có thể tự tin chinh phục được nội dung này! Nếu còn điều gì chưa hiểu rõ, hãy liên hệ ngay với chúng tôi để được giải đáp kịp thời nhé!

Xem thêm:

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác lớp 10

Mục tiêu bài học