Cấp số cộng – Hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập Đại số 11

Tiếp nối bài học về dãy số ở giờ trước, bài học hôm nay sẽ giới thiệu đến các em một loại dãy số thú vị, đó là: cấp số cộng. Cùng bắt đầu bài học và khám phá một số kiến thức lý thuyết cùng bài tập tự luyện giúp nâng cao khả năng toán học của mình ngay thôi nào!

Mục tiêu:

• Nắm được định nghĩa, tính chất.
• Giải được các bài tập có trong bài cấp số cộng.

>> Xem thêm: Hàm số lượng giác – Trọn bộ bài tập lời giải chi tiết lớp 11

Lý thuyết cần nắm về Cấp số cộng

Định nghĩa

• Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
• Số d được gọi là công sai.
• Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi un=un−1+d  với n∈N∗(1)

Đặc biệt khi d=0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Ví dụ: Chứng minh dãy số 1,−3,−7,−11,−15 là một cấp số cộng.

Ta có:

−3=1+(−4) ; −11=−7+(−4);

−7=−3+(−4); −15=−11+(−4);

Nên theo định nghĩa, dãy số 1,−3,−7,−11,−15 là một cấp số cộng với công sai d=−4.

Số hạng tổng quát

Định lý 1: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức

un=u1+(n−1)dvới n≥2 (2)

Ví dụ: Cho cấp số cộng (un), biết  u1=−5,d=3

a. Tìm  u15

b. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu.

Giải

a. Theo công thức (2) ta có  u15=−5+(15−1)×3=37

b. Theo công thức (2) ta có un=−5+(n−1)×3

Vì un=100 nên −5+(n−1)×3=100⇔n=36

Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lý 2: Mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó

Hệ quả: Ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng ⇔a+c=2b.

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un=3n−1.

a. Chứng minh dãy (un) là cấp số cộng. Tìm u1 và d.

b. Tính tổng của 50 số hạng đẩu.

c. Biết Sn=260, tìm n.

Giải

a. Vì un=3n−1 nên u1=2.

Với n≥1, xét hiệu un+1−un=3(n+1)−1−(3n−1)=3,

⇒un+1=un+3

Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d=3.

b. Vì u1=2,d=3,n=50 nên theo công thức (4′) ta có

S50=50.2+50.49/ 2×3=3775

c. Vì u1=2,d=3,Sn=260 nên theo công thức (4′) ta có

Sn=n×2+n(n−1)/ 2×3=260⇔3n2+n−520=0⇔n=13

Giải bài tập SGK Đại số 11 Cấp số cộng

Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11): 

Trong các dãy số (u_n) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó.

Lời giải:

a. Vì u_n = 5 – 2n nên u₁ = 5 – 2 = 3

Xét hiệu sau:

u_n+1 – u_n = [5 – 2(n + 1)] – (5 – 2n) = 5 – 2n – 2 – 5 + 2n = -2

⇒ u_n+1 = u_n – 2

Vậy (u_n) là cấp số cộng với công sai d = – 2

c. u_n = 3ⁿ ⇒ u₁ = 3

giả sử n ≥ 1, xét hiệu sau:

u_n+1 – u_n = 3ⁿ⁺¹ – 3ⁿ = 3ⁿ . 3 – 3ⁿ = (3 – 1).3ⁿ = 2.3ⁿ

và u_n – u_n-1 = 3ⁿ – 3^n-1 = 3.3^n-1 – 3^n-1 = (3- 1).3^n-1 = 2.3^n-1

⇒ u_n+1 – u_n ≠ u_n – u_{n– 1} (vì 3ⁿ ≠ 3^n-1, ∀ n )

⇒ (u_n) không phải là cấp số cộng.

Bài 2 (trang 97 SGK Đại số 11): 

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

Lời giải:

a) Ta có : u₃ = u₁ + 2d ;

u₅ = u₁ + 4d ;

u₆ = u₁ + 5d

Theo đề bài ta có :

b. Ta có: u₇ = u₁ + 6d ; u₃ = u₁ + 2d ; u₂ = u₁ + d

Do đó theo đề bài ta có:

Lời kết

Bài học: Cấp số cộng đến đây là kết thúc. Hy vọng qua bài học này, các em sẽ giải quyết được toàn bộ các dạng bài tập từ cơ bản cho đến nâng cao. Nếu muốn tham khảo thêm các dạng bài tập nâng cao hơn, hãy tìm đến trang chủ của wikihoctap và tham khảo tài liệu miễn phí tại đây nhé!

>> Xem thêm:

• Nguyên hàm- Giải tích 12
• Tích phân- Giải tích 12
• 6 cộng với 1 số: 6+5