Cấp số cộng – Hướng dẫn chi tiết cách giải bài tập Đại số 11
Tiếp nối bài học về dãy số ở giờ trước, bài học hôm nay sẽ giới thiệu đến các em một loại dãy số thú vị, đó là: cấp số cộng. Cùng bắt đầu bài học và khám phá một số kiến thức lý thuyết cùng bài tập tự luyện giúp nâng cao khả năng toán học của mình ngay thôi nào!
Mục tiêu:
- Nắm được định nghĩa, tính chất.
- Giải được các bài tập có trong bài cấp số cộng.
>> Xem thêm: Hàm số lượng giác – Trọn bộ bài tập lời giải chi tiết lớp 11
Lý thuyết cần nắm về Cấp số cộng
Định nghĩa
- Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
- Số d được gọi là công sai.
- Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi un=un−1+d với n∈N∗(1)
Đặc biệt khi d=0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Ví dụ: Chứng minh dãy số 1,−3,−7,−11,−15 là một cấp số cộng.
Ta có:
−3=1+(−4) ; −11=−7+(−4);
−7=−3+(−4); −15=−11+(−4);
Nên theo định nghĩa, dãy số 1,−3,−7,−11,−15 là một cấp số cộng với công sai d=−4.
Số hạng tổng quát
Định lý 1: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức
un=u1+(n−1)dvới n≥2 (2)
Ví dụ: Cho cấp số cộng (un), biết u1=−5,d=3
a. Tìm u15
b. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu.
Giải
a. Theo công thức (2) ta có u15=−5+(15−1)×3=37
b. Theo công thức (2) ta có un=−5+(n−1)×3
Vì un=100 nên −5+(n−1)×3=100⇔n=36
Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Định lý 2: Mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó
Hệ quả: Ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng ⇔a+c=2b.
Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng
Ví dụ: Cho dãy số (un) với un=3n−1.
a. Chứng minh dãy (un) là cấp số cộng. Tìm u1 và d.
b. Tính tổng của 50 số hạng đẩu.
c. Biết Sn=260, tìm n.
Giải
a. Vì un=3n−1 nên u1=2.
Với n≥1, xét hiệu un+1−un=3(n+1)−1−(3n−1)=3,
⇒un+1=un+3
Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d=3.
b. Vì u1=2,d=3,n=50 nên theo công thức (4′) ta có
S50=50.2+50.49/ 2×3=3775
c. Vì u1=2,d=3,Sn=260 nên theo công thức (4′) ta có
Sn=n×2+n(n−1)/ 2×3=260⇔3n2+n−520=0⇔n=13
Giải bài tập SGK Đại số 11 Cấp số cộng
Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11):
Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó.
Lời giải:
a. Vì un = 5 – 2n nên u1 = 5 – 2 = 3
Xét hiệu sau:
un+1 – un = [5 – 2(n + 1)] – (5 – 2n) = 5 – 2n – 2 – 5 + 2n = -2
⇒ un+1 = un – 2
Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d = – 2
c. un = 3n ⇒ u1 = 3
giả sử n ≥ 1, xét hiệu sau:
un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3n . 3 – 3n = (3 – 1).3n = 2.3n
và un – un-1 = 3n – 3n-1 = 3.3n-1 – 3n-1 = (3- 1).3n-1 = 2.3n-1
⇒ un+1 – un ≠ un – un– 1 (vì 3n ≠ 3n-1, ∀ n )
⇒ (un) không phải là cấp số cộng.
Bài 2 (trang 97 SGK Đại số 11):
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
Lời giải:
a) Ta có : u3 = u1 + 2d ;
u5 = u1 + 4d ;
u6 = u1 + 5d
Theo đề bài ta có :
b. Ta có: u7 = u1 + 6d ; u3 = u1 + 2d ; u2 = u1 + d
Do đó theo đề bài ta có:
Bài 3 (trang 97 SGK Đại số 11):
Trong các bài toán, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn.
a.Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b.Lập bảng theo mẫu sau và điền vào số thích hợp vào ô trống:
Lời giải:
a. Mối liên hệ giữa các công thức:
Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.
b. Ta có bảng:
Giải thích:
+ Với u1 = -2; un = 55; n = 20
+ Với d = -4 ; n = 15 ; Sn = 120
+ Với un = 17; n = 12; Sn = 72
+ Với u1 = 2; d = -5; Sn = -205.
⇒ un = u10 = u1 + 9d = -43.
Bài 4 (trang 98 SGK Đại số 11):
Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm.
a. Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân.
b. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Lời giải:
a. Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m.
⇒ n bậc thang cao 0,18.n (m)
Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của bậc n so với mặt sân sẽ là:
hn = (0, 5 + 0,18n) (m)
b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là:
h21 = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m)
Bài 5 (trang 98 SGK Đại số 11):
Từ 0 đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu có chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng tiếng giờ?
Lời giải:
Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.
Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông
……
Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông.
Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:
1+ 2+ 3+ …. + 11+ 12
Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu u1= 1, công sai d = 1
Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là:
Bài tập tự luyện Cấp số cộng
Các bài tập tự luyện do Wikihoctap biên soạn sẽ giúp các em luyện tập và củng cố kiến thức!
Phần câu hỏi
Câu 1:
Câu 2:Cho một cấp số cộng có u1=−3;u6=27 . Tìm d ?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Câu 3: Cho cấp số cộng un có: u1=−0,1;d=0,1 . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:
A. 1,6
B. 0,6
C. 6
D. 0,5
Câu 4: Cho cấp số cộng un có: u1=−0,1;d=1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6.
B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.
C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5
D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9
Câu 5: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 .
A. 1,5,6,8
B. 2,4,6,8
C. 1,4,6,9
D. 1,5,7,8
Phần đáp án
1.B 2.C 3.C 4.B 5. B
Lời kết
Bài học: Cấp số cộng đến đây là kết thúc. Hy vọng qua bài học này, các em sẽ giải quyết được toàn bộ các dạng bài tập từ cơ bản cho đến nâng cao. Nếu muốn tham khảo thêm các dạng bài tập nâng cao hơn, hãy tìm đến trang chủ của wikihoctap và tham khảo tài liệu miễn phí tại đây nhé!
>> Xem thêm: