Cộng, trừ và nhân số phức – Môn toán lớp 12
Giống như các tập hợp số khác, ta cũng có thể thực hiện các phép tính cộng trừ và nhân các số phức với nhau. Bài học ngày hôm nay của Wikihoctap: Cộng, trừ và nhân số phức sẽ tổng hợp lại toàn bộ các phương pháp tính, hướng dẫn giải bài tập SGK cho các bạn tham khảo.
Mục tiêu bài học Cộng, trừ và nhân số phức
Trước mỗi bài học, chúng ta đều đặt ra cho mình những mục tiêu nhất định để tạo động lực học bài!
- Nắm được quy tắc cộng, trừ và nhân số phức.
- Giải được các phép tính về cộng, trừ và nhân số phức.
Kiến thức Cộng, trừ và nhân số phức
Lý thuyết của bài học hôm nay khá dễ hiểu, các bạn chú ý ghi chép lại bài học nhé!
1. Phép cộng và trừ số phức
Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.
Vậy:
Ví dụ 1. Tìm tổng của hai số phức
a) z1=2+3i và z2=−1+i;
b) z1=3i và z2=5–√−2–√i;
Hướng dẫn giải:
a) z1+z2=(2+(−1))+(3+1)i=1+4i
b) z1+z2=(0+5–√)+(3+(−2–√))=5–√+(3−2–√)i
Ví dụ 2. Tìm hiệu của hai số phức
a) z1=2+3i và z2=−1+i
b) z1=3i và z2=5–√−2–√i
Hướng dẫn giải:
a) z1−z2=(2−(−1))+(3−1)i=3+2i
b) z1−z2=(0−5–√)+(3−(−2–√))=−5–√+(3+2–√)i
Ví dụ 3: Cho số phức x1=1+i và x2=2−3i . Tìm số phức liên hợp của số phức w=x1+x2 .
Hướng dẫn giải:
Vì x1=1+i và x2=2−3i,
nên w = x1+x2 ⇔ w=(1+2)+(1−3)i=3−2i ⇔ w¯=3+2i .
Ví dụ 4: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn:
(2x−3yi)+(1−3i)= x+6i ( với i là đơn vị ảo).
Giải
(2x−3yi)+(1−3i)=x+6i
⇔ x+1−(3y+9)i=0 ⇔x=−1;y=−3
2. Phép nhân
Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2=−1 trong kết quả nhận được.
Vậy:
Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.
Ví dụ 5. Tính
a)(2+3i)(3−2i)
b) (2–√−i)(3–√+2–√i)
Hướng dẫn giải:
a) (2+3i)(3−2i)=6−4i+9i−6i2=12+5i
b) (2–√−i)(3–√+2–√i)=6–√+2i−3–√i−2–√i2=(6–√+2–√)+(2−3–√)i
Nếu học qua phần lý thuyết rồi mà vẫn còn nhiều khó khăn, các bạn có thể xem bài giảng của thầy giáo điển trai đến từ Toppy dưới đây nhé!
Giải bài tập SGK Cộng, trừ và nhân số phức
Phần bài tập trong sách giáo khoa rất sát với lý thuyết chúng ta cần nhớ. Vậy nên các bạn chú ý giải hết rồi kiểm tra với đáp án của cô nhé!
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 134:
Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi i là biến), hãy tính:
(3 + 2i) + (5 + 8i);
(7 + 5i) – (4 + 3i);
Lời giải:
(3 + 2i) + (5 + 8i) = (3 + 5) + (2 + 8)i = 8 + 10i.
(7 + 5i) – (4 + 3i) = (7 – 4) + (5 – 3)i = 3 + 2i.
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 135: Hãy nêu các tính chất của phép cộng và phép nhân số phức.
Lời giải:
Các tính chất của phép cộng
Bài 1 (trang 135 SGK Giải tích 12):
Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 – 5i) + (2 + 4i)
b) (-2 – 3i) + (-1 – 7i)
c) (4 + 3i) – (5 – 7i)
d) (2 – 3i) – (5 – 4i)
Lời giải:
a) Ta có: (3 – 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 – i
b) Ta có: (-2 – 3i) + (-1 – 7i) = (-2 – 1) + (-3 – 7)i = -3 – 10i
c) Ta có: (4 + 3i) – (5 – 7i) = (4 – 5) + (3-(-7))i = -1 + 10i
d) Ta có: (2 – 3i) – (5 – 4i) = (2 – 5) + (-3 + 4)i = -3 + i
Bài 2 (trang 136 SGK Giải tích 12):
Tính α+ β,α- β với:
a) α = 3, β = 2i
b) α = 1 – 2i, β = 6i
c) α = 5i, β = -7i
d) α = 15; β = 4 – 2i
Lời giải:
a) Ta có: α + β = 3 + 2i ; α – β = 3 – 2i
b) α + β = (1 – 2i) + (6i) = 1 + 4i;
α – β = (1 – 2i) – (6i) = 1 – 8i
c) α + β = (5i) + (-7i) = -2i;
α – β = (5i) – (-7i) = 12i
d) α + β = (15) + (4 – 2i) = 19 – 2i ;
α – β = (15) – (4 – 2i) = 11 + 2i
Bài 3 (trang 136 SGK Giải tích 12):
Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 – 2i)(2 – 3i)
b) (-1 + i)(3 + 7i)
c) 5(4 + 3i)
d) (-2 – 5i)4i
Lời giải:
a) (3 – 2i)(2 – 3i) = (3.2 – 2.3) + (-3.3 – 2.2)i = -13i
b) (-1 + i)(3 + 7i) = (-1.3 – 1.7) + (-1.7 + 1.3)i = -10 – 4i
c) 5(4 + 3i) = 5.4 + 5.3i = 20 + 15i
d) (-2 – 5i)4i = (-2.0 + 5.4) + (2.4 – 5.0)i = 20 – 8i
Bài 4 (trang 136 SGK Giải tích 12):
Tính i3,i4;i5. Nêu cách tính in với n là số tự nhiên tùy ý:
Lời giải:
+ i3 = i2.i= – 1i = -i.
i4 = i2.i2 = -1.(-1) = 1
i5 = i4.i = 1.i = i
+ Với n là số tự nhiên bất kì ta có :
Nếu n = 4k ⇒ in = i4k = (i4)k = 1k = 1.
Nếu n = 4k + 1 ⇒ in = i4k + 1 = i4k.i = 1.i = i.
Nếu n = 4k + 2 ⇒ in = i4k + 2 = i4k.i2 = 1.(-1) = -1.
Nếu n = 4k + 3 ⇒ in = i4k + 3 = i4k.i3 = 1.(-i) = -i.
Bài 5 (trang 136 SGK Giải tích 12):
Tính:
a) (2 + 3i)2
b) (2 + 3i)3
Lời giải:
a) Ta có: (2 + 3i)2 = (2 + 3i)(2 + 3i) = (22 – 33) + (2.3 + 2.3)i = -5 + 12i
Tổng quát (a + bi)2 = a2 – b2 + 2abi
b) Ta có:
(2 + 3i)3 = (2 + 3i)2.(2 + 3i)
= (-5 + 12i).(2 + 3i)
= (-5.2 – 12.3) + (-5.3 + 12.2)i
= -46 + 9i
Lưu ý: Có thể tính (2 + 3i)3 bằng cách áp dụng hẳng đẳng thức
(2 + 3i)3 = 23 + 3.22.3i + 3.2.(3i)2 + (3i)3
= 8 + 36i + 54.(-1) + 27.(-1).i
= (8 – 54) + (36 – 27)i
= -46 + 9i
Lời kết:
Hy vọng sau bài học này, các bạn sẽ có thể thực hiện một cách thành thạo các phép tính cộng, trừ và nhân số phức. Đây là một phần kiến thức không quá phức tạp đúng không nào? Hãy tiếp tục đồng hành cùng wikihoctap để giải mã các kiến thức giải tích 12 nhé!
Xem thêm:
