Cực trị của hàm số – Lời giải bài tập SGK toán 12

Cực trị của hàm số là một nội dung rất quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12. Nếu bạn còn chưa hiểu rõ hoặc chưa biết về nội dung kiến thức này thì hãy theo dõi ngay bài giảng của wikihoctap nhé!

Mục tiêu bài học Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

• Nắm được định nghĩa về cực tiểu và cực đại của hàm số.
• Biết được điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu.
• Biết tìm cực trị của hàm số thông qua việc giải các bài toán liên quan đến nội dung này.

Kiến thức cơ bản của bài học Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Sau đây, chúng ta cùng nhau đi học những kiến thức cơ bản nhất của bài học hôm nay, các bạn hãy tập trung để hiểu bài ngay nhé!

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu

1. Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x)  xác định và liên tục trên khoảng (a,b) (có thể a là −∞ ; b là +∞) và điểm x0∈(a;b)

⛅Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)<f(x₀) với mọi x∈(x₀−h;x₀+h) và x≠x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

⛅Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x₀) với mọi x∈(x₀−h;x₀+h) và x≠x₀ thì ta nói hàm số f(x)đạt cực tiểu tại x₀.

2. Chú ý

⛅Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_CĐ (f_CT), còn điểm x₀;f(x₀) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

⛅Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

⛅Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y=f(x)  có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại (cực tiểu) tại x0  thì f′(x₀)=0

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

1. Định lý 1

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng K=(x₀−h;x₀+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên Kx₀  với h>0

⛅Nếu f′(x)>0  trên khoảng (x₀−h;x₀+h) và f′(x)<0 trên khoảng (x₀−h;x₀+h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

⛅Nếu f′(x)<0 trên khoảng (x₀−h;x₀+h) và f′(x)>0 trên khoảng (x₀−h;x₀+h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Ta có thể minh họa bằng bảng biến thiên như sau:

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số  : f(x)=−x²+1

Giải

Hàm số xác định với mọi x∈N

Ta có f′(x)=−2x

  f′(x)=0 ⇒ −2x=0 ⇔ x=0

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra x=0  là điểm cực đại của hàm số và đồ thị hàm số có một điểm cực đại là (0;1)

III. Quy tắc tìm cực trị

1. Quy tắc 1

➀. Tìm tập xác định. Tính f′(x)

➁. Tìm các điểm tại đó f′(x) bằng  0 hoặc f′(x) không xác định.

➂. Lập bảng biến thiên

➃. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

2. Định lý 2

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x₀−h;x₀+h), với h>0. Khi đó:

⛅Nếu f′(x)=0,f′′(x)>0 thì x0 là điểm cực tiểu;

⛅Nếu f′(x)=0,f′′(x)<0  thì x0 là điểm cực đại.

3. Quy tắc 2

➀. Tìm tập xác định. Tính  f′(x)

➁. Tìm các nghiệm xi(i=1,2,3…) của phương trình  fϕ(x)=0

➂. Tìm f′(x) và tính f′(x_i)

➃. Dựa vào dấu của f′(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i. Cụ thể

Nếu f′(x_i)<0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x_i

Nếu f′(x_i)>0  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm  x_i

Các bạn có thể tham khảo video hướng dẫn học bài chi tiết tại đây!

Hướng dẫn giải bài tập toán SGK Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Để có cái nhìn tổng quan về bài học và kiểm tra kiến thức mà mình nắm được từ đầu đến bây giờ thì chúng ta hãy cùng nhau đi làm một số bài tập SGK

Bài 11 (trang 16 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm cực trị của các hàm số sau:

Lời giải:

a) Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có: f’(x) = x²+4x+3

Từ đó f’(x) = 0 <=> x = -1 hoặc x = -3

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x = -3, giá trị cực đại của hàm số là: f_CĐ=f(-3)=-1.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1, giá trị cực tiển của hàm số là f_CT=f(-1)=-7/3

b) Tập xác định: R

f’ (x)=x²-2x+2=(x-1)²+1>0,∀x ∈R=>f(x) luôn đồng biến nên hàm số không có cực trị.

c) Tập xác định: R \ {0}

Bảng biến thiên

Vậy hàm số cực đại tại x = -1; f_CĐ=f(-1)=-2

Hàm số cực tiểu tại x = 1; f_CT=f(1)=2

d) f(x) xác định liên tục trên R.

ta có:

bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, f_CĐ=f(-1)=1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, f_CT=f(0)=1

e) tập xác định: R

f’(x) = x⁴-x²;f’ (x)=0 <=> x = 0 hoặc x=±1

bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1, f_CĐ=f(-1)=32/15

Hàm số cực tiểu tại x = 1; f_CT=f(1)=28/15

f) Tập xác định: R \ {1}

f’ (x)=0 <=> x = 0 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số cực đại tại x = 0, f_CĐ=f(0)=-3

Hàm số cực tiểu tại x = 2; f_CT=f(2)=1

Bài 12 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm cực trị của hàm số sau:

Lời giải:

a) Tập xác định: [-2; 2]

y’=0 <=> x=±√2

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại x=-√2,y_CT=y(-√2 )=-2

Hàm số đạt cực đại tại x = √2,y_CĐ=y(√2)=2

b) Tập xác định: [-2√2;2√2]

Bảng biến thiên:

Hàm số cực đại tại x = 0; y_CĐ=y(0)=2√2

Hàm số không có cực tiểu.

c) Tập xác định: R

y’=(x-sin⁡2x+2)’=1-2 cos⁡2x

Vậy hàm số cực đại tại điểm

Hàm số đạt cực tiểu tại tiểu

d) Tập xác định: R

y’=2 sin⁡x+2.sin⁡2x=2 sin⁡x(1+2 cos⁡x )

=> y” (k π)>0 (có thể viết: y” (k π)=4+2 cos⁡(k π)

Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

nên hàm số đạt cực đại tại các điểm.

Bài 13 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f(x) = ax^3+bx^2+cx+d sao cho hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; f(0) = 0 đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1

Lời giải:

Ta có f’(x) = 3ax²+2bx+c=>f’ (0)=c;f’ (1)=3a+2b+c

Vì f(0) = 0 =>d= 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 nên f’(0) = 0 => c =0; f(1) = a + b = 1

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 nên f’(1) = 0 => 3a + 2b = 0

ta được a = -2; b = 3

Vật f(x) = -2x²+3x²

Thử lại f’(x) = -6x²+6x;f” (x)=-12x+6

f’’(0) > 0. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0

f’’(1) = -6 < 0. Hàm số đạt cực đại tại x = 1

Đáp số: a = -2; b = 3; c =3; d = 0

Bài 14 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số: (x) = x₃+ax₂+bc+c đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 và đồ thị của hàm số đi qua A(1; 0)

Lời giải:

f'(x) = 3x²+2ax+b

Điền kiện cần:

Hàm số đạt cực trị bằng 0 tại x = -2 => f’(2) = 0 và f(-2) = 0

Hay -4a+b+12=0 (1)và 4a-2b+c-8=0 (2)

Đồ thị đi qua A(1; 0) => a+b+c+1=0

Giải hệ Phương trình (1), (2), (3) ta được a =3; b = 0; c = -2

Điều kiện đủ:

Xét f(x) = x³+3x²-4. Ta có: đồ thị hàm số f(x) đi qua A(1; 0)

f’(x) = 3x³+6x=>f” (x)=6x+6

f’(-2)= 0; f’’(2) = -6 < 0 nên x = -2 là điểm cực đại và f(-2) = 0

Đáp số:a =3; b =0; c = -4

Bài 15 (trang 17 sgk Giải Tích 12 nâng cao): Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

Lời giải:

Hàm số được viết lại là:

Hàm số xác định ∀x ≠ m

Bảng biến thiên

Vậy với mọi giá trị của m, hàm số đạt được cực đại tại x = m -1 và đạt cực tiểu tại x = m + 1

Lời kết

Nội dung về cực trị của hàm số bao giờ cũng xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Để không bị mất điểm một cách đáng tiếc, hãy nắm vững lý thuyết và làm thật nhiều các bài toán liên quan đến cực trị để hình thành cho mình kỹ năng giải toán nhé!

Xem thêm: 

• Đồ thị hàm số y = ax + b 
• Hàm số
• Phép chia phân số
• Biến đổi các biểu thức hữu tỉ