Đa thức 1 biến – Lý thuyết có bài tập đầy đủ toán lớp 7

Bài học trước thì các em đã được học về cộng trừ đa thức. Đến với hôm nay thì ta sẽ học tiếp bài: Đa thức 1 biến. Cùng học với cô các em nhé!

Mục tiêu bài học

• Các em cần nắm chắc lý thuyết của đa thức một biến. 
• Nắm chắc và hiểu được cách tính đa thức một biến.

Lý thuyết

1. Đa thức một biến

• Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.
• Một số được coi là một đơn thức một biến.
• Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Ví dụ: Đa thức 5x⁵ + 4x³ – 2x² + x là đa thức một biến (biến x); bậc của đa thức là 5.

2. Sắp xếp một đa thức một biến

Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

Ví dụ 1: Đối với đa thức P(x)= 6x + 3 – 6x² + x³ + 2x⁴

Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến, ta được: P(x)= 2x⁴ + x³ – 6x² + 6x + 3

Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa tăng của biến, ta được: P(x)= 3 + 6x – 6x² + x³ + 2x⁴

3. Nhận xét về bậc của đa thức một 

Mọi đa thức bậc 2 của biến x, sau khi đã sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa giảm của biến, đều có dạng: ax² + bx + c

Trong đó a,b,c là các số cho trước và a ≠ 0.

4. Chú ý:

• Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức một biến .
• Những chữ đại diện cho các số xác định cho trước được goi là hằng số.

Ví dụ 2: Cho đa thức P(x) = 2 + 5x² – 3x³ + 4x – 2x – x³ + 6x⁵. Thu gọn và sắp xếp đa thức

P(x)= 2 + 5x² – 3x³ + 4x² – 2x – x³ + 6x⁵

= 6x⁵ + (-3x³ – x³) + (5x² + 4x²) – 2x + 2

= 6x⁵ – 4x³ + 9x² – 2x + 2

5. Hệ số

Hệ số của lũy thừa 0 của biến gọi là hệ số tự do.  hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất.

Ví dụ: Các hệ số của đa thức 6x⁵ – x⁴ + 5x² – x + 2 lần lượt là 6; -1; 5; -1; 2

Hệ số tự do là: 2

Hệ số cao nhất là: 6

Để hiểu thêm về đa thức một biến, các em hãy dành thời gian xem hết video bài giảng dưới đây. wikihoctap tin rằng việc kết hợp học qua video sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức nhanh chóng và hiệu quả.

Giải bài tập Đa thức một biến Toán 7 trong sách giáo khoa

Bài 39 (trang 43 SGK Toán 7 tập 2):

Cho đa thức: P(x)= 2 + 5x² – 3x³ + 4x² – 2x – x³ + 6x⁵

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của P(x) theo lũy thừa giảm của biến.

b) Viết các hệ số khác 0 của đa thức P(x).

Bài làm:

a) P(x) = 2 + 5x² – 3x³ + 4x² –2x – x³ + 6x⁵

P(x) = 2 + (5x²+ 4x²) + (– 3x³– x³) – 2x + 6x⁵

P(x) = 2 + 9x² – 4x³– 2x + 6x⁵

Sắp xếp các hạng tử của P(x) theo lũy thừa giảm của biến, ta có

P(x) = 6x⁵ – 4x³ + 9x² – 2x + 2

b) Hệ số của lũy thừa bậc 5 là 6

Hệ số của lũy thừa bậc 3 là – 4

Hệ số của lũy thừa bậc 2 là 9

Hệ số của lũy thừa bậc 1 là – 2

Hệ số của lũy thừa bậc 0 là 2

Bài 40 (trang 43 SGK Toán 7 tập 2):

Cho đa thức Q(x)= x² + 2x⁴ + 4x³ – 5x⁶ + 3x² – 4x – 1

a) Sắp xếp các hạng tử của Q(x) theo lũy thừa giảm của biến.

b) Chỉ ra các hệ số khác 0 của Q(x).

Bài làm:

a) Q(x) = x² + 2x⁴ + 4x³ – 5x⁶ + 3x² – 4x –1

Q(x) = (x²+ 3x²) + 2x⁴ + 4x³ – 5x⁶– 4x –1

Q(x) = 4x² + 2x⁴ + 4x³ – 5x⁶ – 4x –1

Sắp xếp các hạng tử của Q(x) theo lũy thừa giảm của biến, ta có

Q(x)= – 5x⁶ + 2x⁴ + 4x³ + 4x² – 4x –1

b)

• Hệ số lũy thừa bậc 6 là – 5
• Hệ số của lũy thừa bậc 4 là 2
• Hệ số của lũy thừa bậc 3 là 4
• Hệ số của lũy thừa bậc 2 là 4
• Hệ số của lũy thừa bậc 1 là –4
• Hệ số của lũy thừa bậc 0 là –1

Bài 41 (trang 43 SGK Toán 7 tập 2):

Viết một đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 5, hệ số tự do là -1.

Bài làm:

Ví dụ về đa thức một biến có hai hạng tử mà hệ số cao nhất là 5, hệ số tự do là –1.

Đa thức bậc nhất thỏa mãn các điều kiện trên: 5x – 1

Đa thức bậc hai thỏa mãn các điều kiện trên: 5x² – 1

Đa thức bậc ba thỏa mãn các điều kiện trên: 5x³ – 1

Đa thức bậc bốn thỏa mãn các điều kiện trên: 5x⁴ – 1

……………….

Tổng quát: Đa thức bậc n (n là số tự nhiên): 5xⁿ – 1

Bài 42 (trang 43 SGK Toán 7 tập 2):

Tính giá trị của đa thức P(x) = x² – 6x + 9 tại x = 3 và tại x = -3.

Bài làm:

• Thay x= 3 vào biểu thức P(x) ta được:

P(3)= 3² – 6.3 + 9= 9 – 18 + 9= 0

Vậy P(3)= 0.

• Thay x= – 3 vào biểu thức P(x) ta được:

P(– 3)= (– 3)² – 6.(–3) + 9= 9 + 18 + 9= 36

Vậy P(-3)= 36.

Bài 43 (trang 43 SGK Toán 7 tập 2)

Trong các số cho ở bên phải mỗi đa thức, số nào là bậc của đa thức đó?

Bài làm:

a) 5x² – 2x³ + x⁴ – 3x² – 5x⁵ + 1

= (5x² – 3x²) – 2x³ + x⁴– 5x⁵ + 1

= 2x² – 2x³ + x⁴– 5x⁵ + 1

= -5x⁵ + x⁴ – 2x³ + 2x² +1.

⇒ Bậc của đa thức là 5.

b) 15 – 2x= -2x¹ +15.

⇒ Bậc của đa thức là 1.

c) 3x⁵ + x³ – 3x⁵ +1= (3x⁵ – 3x⁵) + x³ +1 = x³ + 1.

⇒ Bậc của đa thức bằng 3.

d) Đa thức -1 có bậc bằng 0

Bài tập tự luyện Đa thức một biến

Câu 1: Sắp xếp 6x³ + 5x⁴ – 8x⁶ – 3x² + 4 theo lũy thừa giảm dần của biến ta được

A. -8x⁶ + 5x⁴ + 6x³ – 3x² + 4

B. -8x⁶ – 5x⁴ + 6x³ – 3x² + 4

C. 8x⁶ + 5x⁴ + 6x³ – 3x² + 4

D. 8x⁶ + 5x⁴ + 6x³ + 3x² + 4

Câu 2: Cho đa thức A= x⁴ – 4x³ + x – 3x² + 1. Tính giá trị của A tại x = -2

A. A= -35

B. A= 53

C. A= 33

D. A= 35

Câu 3: Thu gọn đa thức sau và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến ta được đa thức nào?

x⁷−3x⁴+2x³−x²−x⁴−x+x⁷−x³+5

A. x⁷−4x⁴+x³−x²−x+5

B. −2x⁷−4x⁴+x³−x²−x+5

C. −2x⁷−4x⁴−x³−x²−x+5

D. 2x⁷−4x⁴+x³−x²−x+5

Câu 4:Hệ số cao nhất của đa thức 5x⁶ + 6x⁵ + x⁴ – 3x² + 7 là:

A. 6

B. 7

C. 4

D. 5

Câu 5: Tổng của 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho bao nhiêu?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 9

Đáp án bài tập tự luyện

1.A       2.D      3.D     4.D     5.C

Lời kết

Vậy là bài học: Đa thức 1 biến đã kết thúc tại đây. Nếu như các em còn điều gì thắc mắc thì hãy liên hệ ngay với Wikihoctap nhé!

Xem thêm: 

• Lũy thừa của số hữu tỉ – Bài tập & Lời giải SGK Toán 7
• Cộng trừ đa thức 1 biến – Học toán 7 không khó cùng Wikihoctap
• Hai đường thẳng vuông góc – Giải bài tập SGK Toán 7