Dãy số toán lớp 11 – Bài giảng và lời giải chi tiết SGK

Nội dung về dãy số không phải là một phần kiến thức mới bởi các em đã được học ở những lớp dưới. Tuy nhiên, trong chương trình Đại số lớp 11 này, các kiến thức về dãy số sẽ được nâng cấp lên một tầm cao mới. Cùng bắt đầu bài học và khám phá với Wikihoctap nhé!

Bài giảng gồm 3 phần chính

• Nắm được định nghĩa về dãy số.
• Biết thế nào là một dãy hữu hạn.
• Giải được các bài tập SGK và bài tập tự luyện từ cơ bản đến nâng cao.

>> Xem thêm: Các dạng bài tập toán lớp 11 – Bài tập & lời giải chi tiết

Lý thuyết cần nắm bài Dãy số

Định nghĩa dãy số

a. Định nghĩa dãy số

Một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương   được gọi là một dãy vô hạn (hay gọi tắt là là dãy số). Kí hiệu:

Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số, u(1) được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), u(2) được gọi là số hạng thứ hai…

Người ta thường kí hiệu các giá trị u(1),u(2),... tương ứng bởi u1,u2,... và thường kí hiệu dãy số u=u(n) bởi (un) và gọi un là số hạng tổng quát của dãy đó.

Dãy số (un) thường được viết dưới dạng khai triển: u1,u2,...,un,...,

Ví dụ: Dãy các số tự nhiên lẻ 1,3,5,7,…, có số hạng đầu là u1=1 , số hạng tổng quát un=2n−1

b. Dãy số hữu hạn

• Mỗi hàm số u xác định trên tập M={1,2,3,...,m}  với   được gọi là một dãy số hữu hạn.
• Dạng khai triển của nó là  , trong đó   là số hạng đầu,   là số hạng cuối.

Ví dụ: −5,−2,1,4,7,10,13 là dãy số hữu hạn có u1=−5,u7=13

Cách cho một dãy 

a. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

Ví dụ: Cho dãy un với un=2n2−3n+2 (1)

Từ công thức (1) ta có thể xác định được bất kì số hạng nào của dãy các số. Chẳng hạn,

u3=2.32−3.3+2=11

Nếu viết dãy sau dưới dạng khai triển ta được

1,4,11,22,…,2n2−3n+2

b. Dãy số cho bằng công thức mô tả

Ví dụ: Số π  là số thập phân vô hạn không tuần hoàn

π=3,141592653589…

Nếu lập dãy (un) với un là giá trị gần đúng thiếu của số π  với sai số tuyệt đối thì

u1=3,1;u2=3,14;u3=3,141;u4=3,1414;…

Đó là dãy các số cho bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy.

c. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Cho một dãy các số bằng phương pháp truy hồi tức là:

• Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
• Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Giải bài tập SGK Dãy số

Bài 1 (trang 92 SGK Đại số 11):

 Viết năm số hạng đầu của dãy có  hạng tổng quát u_n cho bởi công thức:

Lời giải:

Bài 2 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Cho dãy (u_n), biết u₁ = – 1, u_{n+ 1} = u_n + 3 với n ≥ 1

a. Viết năm số hạng đầu của dãy trên;

b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4

Lời giải:

a. u₁ = – 1, u_{n + 1} = u_n + 3 với n > 1

u₁ = – 1;

u₂ = u₁ + 3 = -1 + 3 = 2

u₃ = u₂ + 3 = 2 + 3 = 5

u₄ = u₃ + 3 = 5 + 3 = 8

u₅ = u₄ + 3 = 8 + 3 = 11

b. Chứng minh phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4 (1)

+ Khi n = 1 thì u₁ = 3.1 – 4 = -1, vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là u_k = 3k – 4.

+ Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: u_k+1 = 3(k+1) – 4

Thật vậy,ta có : u_{k + 1} = u_k + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.

⇒ (1) đúng với n = k + 1

Vậy (1) đúng với ∀ n ∈ N*.

Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Dãy các số (u_n) cho bởi u₁ = 3, u_n+1 = √(1+u_n²) , n > 1

a. Viết năm số hạng đầu của dãy.

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a. Năm số hạng đầu của dãy sau:

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy sau:

u_n =√(n+8) (1)

Rõ ràng (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là u_k = √(k+8)

⇒ (1) đúng với n = k + 1

⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*

Bài 4 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Xét tính tăng, giảm của các dãy (u_n), biết:

Lời giải:

a. Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ (u_n) là dãy các số giảm.

Với mọi n ∈ N có:

⇒ (u_n) là dãy các tăng.

c. u_n = (-1)ⁿ.(2ⁿ + 1)

Nhận xét: u₁ < 0, u₂ > 0, u₃ < 0, u₄ > 0, …

⇒ u₁ < u₂, u₂ > u₃, u₃ < u₄, …

⇒ dãy số (u_n) không tăng, không giảm

với n ∈ N*, n ≥ 1

Xét:

⇒ u_{n + 1} – u_n < 0 ⇒ u_{n + 1} < u_n

Vậy (u_n) là dãy số giảm

Bài 5 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Trong các dãy (u_n) sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

Lời giải:

a. u_n = 2n² – 1

+ Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 và n² ≥ 1

⇒ u_n = 2n² – 1 ≥ 2.1² – 1 = 1.

⇒ u_n ≥ 1

⇒ dãy (u_n) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.

+ (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = 2n² – 1 ≤ M ∀n ∈N*.

Vậy dãy (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b. Ta có :  ∀ n ≥ 1.

⇒ (u_n) bị chặn dưới

 ∀ n ≥ 1.

⇒ (u_n) bị chặn trên.

Vậy (u_n) là dãy bị chặn.

+ Ta có : 2n² – 1 > 0 ∀ n ∈ N*

⇒  ∀ n ∈ N*.

⇒ (u_n) bị chặn dưới.

+ 2n² – 1 ≥ 2.1 – 1 = 1

⇒  ∀ n ∈ N*

d. u_n = sin n + cos n.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài tập tự luyện Dãy số

Các bài tập tự luyện của Wikihoctap sẽ giúp các em rèn luyện tư duy logic, giải nhanh các bài toán trắc nghiệm!

Phần câu hỏi

Câu 1: Cho dãy có 4 số hạng đầu là:−1;3;19;53 . Hãy tìm một quy luật của dãy trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

A. u10=97

B. u10=71

C. u10=1414

D. u10=971

Câu 2: Cho dãy các số có các số hạng đầu là:8,15,22,29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy các số này là:

A. un=7n+7

B. un=7n

C. un=7n+1

D. un: Không viết được dưới dạng công thức.

Câu 3: 

Câu 4: 

Câu 5: 

Phần đáp án

1.A     2.C      3.A        4.B       5.A

Lời kết

Hy vọng thông qua hệ thống kiến thức lý thuyết, bài tập kèm hướng dẫn giải ở trên, các em đã nắm được toàn bộ những kiến thức về dãy số. Hãy luôn theo dõi và tiếp tục đồng hành cùng với wikihoctap để giải đáp thêm những bí ẩn về các con số nhé! Xin chào và hẹn gặp lại các em!

>> Xem thêm:

• Nguyên hàm- Giải tích 12
• Dãy số tự nhiên
• Tích phân- Giải tích 12