Giá trị lượng giác của một cung – Bài tập có đáp án

Chào mừng các em học sinh đã đến với bài học: Giá trị lượng giác của một cung. Bài giảng này được đội ngũ giáo viên đầy kinh nghiệm tại wikihoctap biên soạn sẽ tổng hợp các kiến thức lý thuyết và bài tập liên quan đến dạng toán này cho các em. Mời các em học sinh tham khảo để biết thêm những thông tin thú vị về giá trị lượng giác của một cung nhé!

Mục tiêu bài học

• Nắm được các kiến thức lý thuyết của bài học.
• Hình thành phương pháp giải các dạng bài tập cụ thể.
• Hoàn thành các bài tập SGK và bài tập tự luyện.
• Biết cách tính giá trị lượng giác của một cung góc trong tam giác vuông.
• Áp dụng công thức lượng giác để tính toán các giá trị lượng giác của các cung thông dụng.

Kiến thức cần nắm 

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung có sđ = α (còn viết = α)

Tung độ y = của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sinα

sin α =

Hoành độ x = của điểm M gọi là côsin của α và kí hiệu là cosα

cos α =

Nếu cos α ≠ 0, tỉ số gọi là tang của α và kí hiệu là tan α (người ta còn dùng kí hiệu tg α)

Tan α =

Nếu sinα ≠ 0 tỉ số gọi là côtang của α và kí hiệu là cotα (người ta còn dùng kí hiệu cotg α)

Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

2. Hệ quả

1) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R. Hơn nữa, ta có:

sin(α + k2π) = sin α, ∀k ∈ Z;

cos(α + k2π) = cos α, ∀k ∈ Z

2) Vì –1 ≤ ≤ 1; –1 ≤ ≤ 1 nên ta có

–1 ≤ sin α ≤ 1

–1 ≤ cos α ≤ 1

3) Với mọi m ∈ R mà –1 ≤ m ≤ 1 đều tồn tại α và β sao cho sin α = m và cos β = m.

4) tanα xác định với mọi α ≠  + kπ (k ∈ Z)

5) cotα xác định với mọi α ≠ kπ (k ∈ Z)

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung = α trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

1. Ý nghĩa hình học của tan α

Từ A vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A.

Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At.

tanα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ trên trục t’At. Trục t’At được gọi là trục tang.

2. Ý nghĩa hình học của cot α

Từ B vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại B.

Gọi S là giao điểm của OM với trục s’Bs

cot α được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ trên trục s’Bs. Trục s’Bs được gọi là trục côtang.

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau:

sin²α + cos²α = 1

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

1) Cung đối nhau: α và –α

cos(-α) = cosα

sin(-α) = –sinα

tan(-α) = –tanα

cot(-α) = –cotα

2) Cung bù nhau: α và π-α

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = –cosα

tan(π-α) = –tanα

cot(π-α) = –cotα

3) Cung hơn kém π : α và (α + π)

sin(α + π) = –sinα

cos(α + π) = –cosα

tan(α + π) = tanα

cot(α + π) = cotα

4) Cung phụ nhau: α và (; – α)

sin( ; – α) = cosα

cos( ; – α) = sinα

tan( ; – α) = cotα

cot( ; – α) = tanα

Giải bài tập 

Bài 2 trang 141:

Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác của góc α, 0o ≤ α ≤ 180o. Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các cung và góc lượng giác.

Hướng dẫn giải:

Các số sin⁡α; cos⁡α; tan⁡α; cot⁡α được gọi là giá trị lượng giác của góc α, với 0^o ≤ α ≤ 180^o.

Bài 2 trang 142:

Tính sin 25π/4, cos(-240^o), tan(-405^o).

Hướng dẫn giải:

sin 25π/4 = sin(6π + π/4) = sin π/4 = √2/2

cos(-240° ) = cos(-360° + 120°) = cos 120°= – 1/2

tan⁡(-405o ) = tan⁡(-360o – 45o) = -tan⁡45o = -1

Bài 2 trang 143:

Từ định nghĩa của sinα và cosα, hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng.

Xét điểm M thuộc đường tròn lượng giác xác định bởi số α .

Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox và Oy.

Khi đó: cosα = OH¯; sinα = OK¯ .

Trong lượng giác, người ta gọi trục Ox là trục cô sin và trục Oy là trục sin.

Bài 2 trang 145:

Từ ý nghĩa hình học của tanα và cotα hãy suy ra với mọi số nguyên k, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cotα.

Hướng dẫn giải:

Trên đường tròn lượng giác,từ A(1,0) vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác.

Từ B(0,1) vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác.

Cho cung lượng giác AM có số đo α (α ≠ π/2 + kπ ). Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At.

Gọi S là giao điểm của OM và trục s’Bs.

Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm T trên trục tan. Do đó tan(α + kπ) = tanα. Khi β = α + kπ thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm S trên trục cot. Do đó cot(α + kπ) = cotα.

Bài 2 trang 148:

Tính cos(-11π/4), tan31π/6, sin(-1380o).

Bài 1 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không ?

Hướng dẫn giải:

Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R. a) Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sin α = -0,7.

Trên trục tung xác định điểm K sao cho

Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.

Khi đó với thì theo định nghĩa sin α =

b) Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sin α = 4/3.

c) Vì -√2 < -1 nên không tồn tại α để sin α = -√2.

d) Vì √5/2 > 1 nên không tồn tại α để sin α = √5/2

Bài 2 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Các đẳng thức sau đây có thể đồng thời xảy ra không ?

Hướng dẫn giải:

Bài 3 (trang 148 SGK Đại Số 10):

Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác:

Hướng dẫn giải:

Vì 0 < α < π/2 nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.

Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) sin (α – π) = – sin (π – α) (Áp dụng công thức sin (- α) = – sin α) = -sin α (Áp dụng công thức sin (π – α) = sin α)

Mà sin α > 0 nên sin (α – π) < 0.

c) tan (α + π) = tan α.

Mà tan α > 0 nên tan (α + π) > 0.

Cách 2: Dựa vào biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác:

Vì 0 < α < π/2 nên ta biểu diễn α = sđ như trên hình vẽ.

Lời kết

Để làm tốt các dạng bài tập về lượng giác ở bài học sau, em hãy nhớ kỹ các giá trị lượng giác đặc biệt ở bài học: Giá trị lượng giác của một cung này nhé! Hệ thống lý thuyết trong bài này khá dài nhưng không hề khó nhớ nếu các em hiểu được bản chất trong việc xác định giá trị lượng giác của một cung. Chúc các em học tốt và khám phá được nhiều kiến thức bổ ích nhé!

Xem thêm: 

• Lũy thừa của số hữu tỉ – Bài tập & Lời giải SGK Toán 7
• Cộng trừ đa thức 1 biến – Học toán 7 không khó cùng wikihoctap
• Hai đường thẳng vuông góc – Giải bài tập SGK Toán 7