Giới hạn của hàm số – Tổng hợp kiến thức Đại số 11

Chào mừng các em đến với bài học: Giới hạn của hàm số hôm nay. Bài giảng do đội ngũ giáo viên của wikihoctap biên soạn sẽ tổng hợp lại toàn bộ hệ thống kiến thức lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa cho các em. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sẽ cung cấp một số bài tập tự luyện bổ ích để các em tham khảo nhé!

Mục tiêu bài giảng

• Nắm được các lý thuyết cơ bản của bài học.
• Giải được các bài tập trong sách giáo khoa đại số 11.
• Giải được các bài tập tự luyện mà wikihoctap đưa ra.

>> Xem thêm: Giới hạn của dãy số – Giải bài tập SGK đại số 11

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

Tổng hợp lý thuyết chi tiết & bổ ích nhất được Wikihoctap biên soạn, giúp cho các em có cái nhìn tổng quan và nền tảng về bài học!

Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K \{x₀} và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu:  hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét:  với c là hằng số.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1

3. Giới hạn một bên

Định nghĩa 2

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x₀; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: 

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x₀).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: 

Định lí 2

Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa 3

a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: 

b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu: 

Chú ý:

a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x₀ vẫn còn đúng khi x_n → +∞ hoặc x → –∞

Giải bài tập SGK Đại số 11 Giới hạn của hàm số

Bài 1 (trang 132 SGK Đại số 11): 

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

Lời giải:

Lấy dãy (x_n) bất kì; x_n ∈ D; lim x_n = 4.

b) TXĐ: D = R.

Lấy dãy (x_n) bất kì thỏa mãn x_n → +∞

Bài 2 (trang 132 SGK Đại số 11):

Cho hàm số  và các dãy số (u_n) với  ; (v_n) với 

Tính limu_n, limv_n, limf(u_n), limf(v_n).

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x → 0?

Lời giải:

Bài 3 (trang 132 SGK Đại số 11): 

Tính các giới hạn sau:

Lời giải:

Bài 4 (trang 132 SGK Đại số 11): Tìm các giới hạn sau :

Lời giải:

Bài 5 (trang 133 SGK Đại số 11): 

Cho hàm số  có đồ thị như trên hình 53.

a. Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số cho khi:

x →- ∞,x →3^–,x →-3⁺

b. Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

Lời giải:

a) Quan sát đồ thị nhận thấy:

f(x) → 0 khi x → -∞

f(x) → -∞ khi x → 3-

f(x) → +∞ khi x → (-3)+.

Bài 6 (trang 133 SGK Đại số 11): 

Tính:

Lời giải:

Bài 7 (trang 133 SGK Đại số 11): 

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d^‘ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và ảnh A^‘B^‘ của nó tới quang tâm O của thấu kính (hình dưới).

Lời giải:

a) Thấu kính hội tụ có tiêu cự f

⇒ Ý nghĩa: Khi đặt vật nằm ngoài tiêu cự và tiến dần đến tiêu điểm thì cho ảnh thật ngược chiều với vật ở vô cùng.

⇒ Ý nghĩa: Khi đặt vật nằm trong tiêu cự và tiến dần đến tiêu điểm thì cho ảnh ảo cùng chiều với vật và nằm ở vô cùng.

⇒ Ý nghĩa : Khi vật được đặt ở xa vô cùng thì sẽ cho ảnh tại tiêu điểm.

Bài tập tự luyện Giới hạn của hàm số

Các bài tập tự luyện của Wikihoctap sẽ giúp các em luyện tập và ghi nhớ kiến thức lâu hơn!

Phần câu hỏi

Câu 1:

A. 0        B. 2        C. 4        D. 6

Câu 2:

A. 1/9        B. 3/5        C. (-2)/5        D. (-2)/3

Câu 3:

A. 0        B. √(1/3)        C. √(3/5)        D. 2/3

Câu 4:

A. +∞        B. 4        C. 0        D. -∞

Câu 5: Cho hàm số

Khi đó:

A. -1        B. 0        C. 1        D. +∞

Câu 15: Cho hàm số . Xác định a; b để hàm số có giới hạn tại x = 3 và x = 5 .

Câu 20: Giá trị đúng của  là:

A. – 1

B. 1

C. 7

D. +∞

Câu 8: Tìm giới hạn :

A. +∞

B. -∞

C. 4/3

D. 0

Câu 9: Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x → 2:

.

A. +∞

B. -∞

C. 1/2

D. 1

Câu 10: Cho hàm số . Chọn kết quả đúng của :

A. -∞

B. -2/3

C. 2/3

D. +∞

Phần đáp án

1.D       2.A        3.D        4.C       5.C       6.A        7.B      8.B       9.C      10.A

Lời kết

Như các em đã biết, chương trình toán lớp 11 chứa đựng rất nhiều các kiến thức khó hiểu nhưng cũng không kém phần hấp dẫn. Trong đó có nội dung: Giới hạn của hàm số. Chính vì vậy, các em cần chăm chỉ và tập trung ôn luyện để có thể học tốt môn học này nhé!

>> Xem thêm: 

• Số thập phân hữu hạn- Số thập phân vô hạn tuần hoàn
• Phương trình mặt phẳng – Toán 12
• Kiến thức về các tập hợp số
• Sự đồng biến- nghịch biến của hàm số