Hai đường thẳng vuông góc – Bài giảng & lời giải toán lớp 11
Một trong các vị trí tương đối thường gặp của hai đường thẳng chính là hai đường thẳng vuông góc. Vậy hai đường thẳng vuông góc là gì và nó có những tính chất gì khác so với hai đường thẳng song song. Cùng bắt đầu bài giảng và khám phá điều đó ngay thôi nào!
Mục tiêu bài học : Hai đường thẳng vuông góc
- Nắm được khái niệm và các tính chất của hai đường thẳng vuông góc
- Áp dụng vào để giải quyết các bài toán có liên quan đến hai đường thẳng vuông góc.
Kiến thức cơ bản của bài học : Hai đường thẳng vuông góc
Dưới đây là những phần nội dung lý thuyết quan trọng của bài học
>> Xem thêm: Một số phương trình lượng giác thường gặp – Đại số 11
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghĩa
Trong không gian,nếu ta cho u→ và v→ là hai vectơ khác 0→. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB→ = u→, AC→ = v→. Khi đó ta gọi góc BAC ( 0° ≤ ∠BAC ≤ 180°) là góc giữa hai vectơ u→ và v→ trong không gian, kí hiệu là (u→, v→).
2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Định nghĩa
Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→. Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là một số, kí hiệu là u→.v→, được xác định bởi công thức:
u→.v→ = |u→|.|v→|.cos(u→, v→)
Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→.v→ = 0.
II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Định nghĩa
Ta có được định nghĩa như sau : Vectơ a→ khác 0→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a→ song song hoặc trùng với đường thẳng d.
2. Nhận xét
a) Nếu a→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ ka→ với k ≠ 0 cũng là vectơ chỉ phương của d.
b) Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương a→ của nó.
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.
III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa
Ta có định nghĩa về góc hai đường thẳng như sau : Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
2. Nhận xét
a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
b) Nếu u→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và v→ là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (u→, v→) = α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu 0° ≤ α ≤ 90° và bằng 180° – α nếu 90° < α < 180°. Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°.
IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghĩa
Định nghĩa về hai đường thẳng vuông góc như sau Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.
Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b.
2. Nhận xét
a) Nếu u→ và v→ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: a ⊥ b ⇔ u→.v→ = 0.
b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 SGK bài học : Hai đường thẳng song song
Cùng nhau luyện tập bằng những bài tập cơ bản trong SGK dưới đây nhé !
Bài 1 :
Ta có đề bài như sau : Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:
Lời giải:
Bài 2 :
Đề bài cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Cho tứ diện ABCD
Lời giải:
Bài 3 :
Đề bài toán như sau :
a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?
b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không?
Lời giải:
a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì nói chung a và b không song song với nhau vì a và b có thể cắt nhau hoặc có thể chéo nhau.
b) Trong không gian nếu a ⊥ b và b ⊥c thì a và c vẫn có thể cắt nhau hoặc chéo nhau do đó, nói chung a và c không vuông góc với nhau.
Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có:
+ AB và BC cùng vuông góc với BB’ nhưng AB và BC cắt nhau tại B.
+ AB và A’D’ cùng vuông góc với BB’ nhưng AB và BC chéo nhau.
Bài 4 :
Đề bài gồm những dữ liệu sau đây : Cho hai tam giác đều ABC và ABC‘ trong không gian có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC‘ và C‘A.
Chứng minh rằng:
a) AB ⊥ CC‘
b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Lời giải:
Bài 5 :
Cùng đọc đề và suy luận :
Lời giải:
Bài 6 :
Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC‘D‘ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O‘. Chứng minh rằng AB ⊥OO‘ và CDD‘C‘ là hình chữ nhật.
Lời giải:
+) Vì hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có cùng độ dài cạnh là AB
nên hai đường chéo bằng nhau: AC = AC’.
Suy ra: AO = AO’ hay |AO’→| = |AO→| .
Suy ra: AB→.OO’→ = 0 ⇒ AB ⊥ OO’
Bài 7 :
Đề bài của chúng ta như sau : Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng :
Lời giải:
Bài 8 :
Đề bài cho chúng ta biết những dữ liệu sau đây :
Lời giải:
Tam giác ABC có AB = AC và góc BAC =60o nên tam giác ABC là tam giác đều.
Tương tự, tam giác ABD là tam giác đều.
Lời kết :
Bài tập về hai đường thẳng vuông góc sẽ không khó nếu chúng ta hiểu rõ bản chất và có phương pháp giải phù hợp. Để làm được điều đó, hãy thường xuyên theo dõi các bài giảng của wikihoctap. Tại đây luôn có những phương pháp học tập mới mẻ và sáng tạo giúp các bạn học tập một cách thoải mái mà vẫn đạt được kết quả tốt nhất đấy!
Xem thêm :
