Lớp 11

Hai mặt phẳng vuông góc – Lý thuyết và lời giải toán 11

5/5 - (1 bình chọn)

Bạn còn nhớ chúng ta đã học nội dung gì liên quan đến quan hệ giữa hai mặt phẳng không? Đó chính là bài “Hai mặt phẳng song song” đúng không nào? Bài giảng ngày hôm nay của Wikihoctap sẽ tiếp tục giới thiệu đến bạn một quan hệ khác giữa hai mặt phẳng: Hai mặt phẳng vuông góc. Cùng bắt đầu bài học của chúng ta ngay thôi nào!

Mục tiêu bài học : Hai mặt phẳng vuông góc 

  • Hiểu được khái niệm hai mặt phẳng vuông góc.
  • Nắm được tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
  • Giải được các bài tập SGK, bài tập tự luyện và một số bài tập nâng cao khác.

Kiến thức cơ bản của bài học : Hai mặt phẳng vuông góc 

Để các bản hiểu hơn về bài học hôm nay , chúng ta cùng đi tìm hiểu những kiến thức cơ bản của bài toán nhé!

I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1. Định nghĩa

hai mặt phẳng vuông góc
Lý thuyết và bài tập hai mặt phẳng vuông góc – toán 11

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng.

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (α) và S’ là diện tích hình chiếu của H’ của H trên mặt phẳng (β) thì S’ = S.cosφ trong đó φ là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).

II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°

Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau ta kí hiệu (α) ⊥ (β).

2.Định lí

Định lí 1 (Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc)

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Hệ quả 1

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Hệ quả 2

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

Định lí 2

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

III. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG

1. Định nghĩa

hai mặt phẳng vuông góc

 Hình ảnh trên chính là Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

hai mặt phẳng vuông góc

 Hình ảnh trên đây chính là Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

hai mặt phẳng vuông góc

 Hình ảnh trên đây là Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

hai mặt phẳng vuông góc

 Hình ảnh trên đây là hình Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

hai mặt phẳng vuông góc

Hình ảnh trên đây là hình Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

2. Nhận xét

Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.

IV. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

1. Hình chóp đều

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét

+ Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

+ Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau.

2. Hình chóp cụt đều

Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.

Hướng dẫn giải bài tập Toán SGK lớp 11 bài học : Hai mặt phẳng song song 

Sau đây cùng kiểm tra lại những kiến thức vừa học bằng việc giải một số bài tập sau đây nhé !

 Bài 1 : Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ), những mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) // (γ) thì (β) ⊥ (γ).

b) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) ⊥ (γ) thì (β) // (γ).

Lời giải:

a) Đúng.

(α) ⊥ (β) ⇒ ∃ đường thẳng d ⊂ (β) và d ⊥ (α ).

Mà (α ) // (γ)

⇒ d ⊥ (γ)

⇒ (β) ⊥ (γ).

b) Sai, vì (β), (γ) cùng vuông góc với mp(α) có thể song song hoặc cắt nhau.

Bài 2 : 

Chúng ta có đề bài như sau :  Cho hai mặt phẳng (α), (β) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến Δ của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8cm. Gọi C là một điểm trên (α) và D là một điểm trên (β) sao cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyến Δ và AC = 6cm, BD = 24cm. Tính độ dài đoạn CD.

Lời giải:

hai mặt phẳng vuông góc

Giải bài 2 trang 113 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3 :

Cùng đọc đề bài và giải toán với Wikihoctap nhé :  Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (α) tại A. Chứng minh rằng:

a) (ABD) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)

b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD)

c) HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mp(P) đi qua A và vuông góc với DB.

Lời giải:

Giải bài 3 trang 113 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11Giải bài 3 trang 113 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 4 :

Đề bài cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Cho hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau và một điểm M không thuộc (α) và (β). Chứng minh rằng qua điểm M có một và chỉ một mặt phẳng (P) vuông góc với (α) và (β). Nếu (α) // (β) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?

Lời giải cho bài toán trên : Mặt phẳng (P) cần dựng (tức mp(MHK)) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với Δ.

Vì qua một điểm chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước nên (P) là duy nhất.

Nếu (α) // (β) thì qua M ta chỉ có thể vẽ một đường thẳng Δ vuông góc với (α) và (β). Bất kì mặt phẳng (P) nào chứa Δ cũng đều vuông góc với (α), (β). Trường hợp này, qua M có vô số mặt phẳng vuông góc với (α), (β).

Bài 5 :

Chúng ta có những bài tập sau đây :  Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng (AB’C’D) vuông góc với (BCD’A’)

b) Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD)

Lời giải:

hai mặt phẳng vuông góc

Giải bài 5 trang 114 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 5 trang 114 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Chú ý : Các bạn cần tự hoàn thiện các bài tập còn lại , các bạn có thể dựa trên những bài toán trên để hoàn thành các bài tập còn lại . Hãy cố gắng tự làm để nhớ cũng như củng cố lại kiến thức

Lời kết :

Việc nắm rõ các kiến thức về hai mặt phẳng vuông góc đã giúp cho khả năng giải các bài toán về hình học của bạn tiến lên một tầm cao mới. Bạn hãy không ngừng củng cố và phát triển kiến thức toán học của mình để sau này đạt được nhiều thành tựu lớn nhé! Wikihoctap chúc bạn thành công trên con đường học tập của mình!

Xem thêm :

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button