Hàm số liên tục – Hướng dẫn giải bài tập đại số 11

Sau một tiết học ngắn ngủi trên lớp, chắc hẳn các em còn khá nhiều điều băn khoăn về bài học: Hàm số liên tục trong chương trình Đại số 11. Bài học này của wikihoctap sẽ giúp em tổng hợp lại những kiến thức lý thuyết cơ bản, đồng thời đưa ra hướng dẫn giải bài tập SGK để các em tham khảo cách làm nhé!

Mục tiêu bài học

• Nắm được định nghĩa về hàm liên tục trên một điểm và một khoảng.
• Nhớ được các định lý cơ bản trong bài học.
• Giải được các bài tập SGK và bài tập tự luyện.

Lý thuyết cần nắm

Tổng hợp các kiến thức cơ bản, chi tiết nhất giúp các em nắm vững bài học!

Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 1
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và  x0∈K.

• Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại  x0  nếu  limx→x0 f(x)=f(x0)
• Hàm số y=f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Hàm số liên tục trên một khoảng

Định nghĩa 2

• Hàm y=f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Nhận xét
Đồ thị của 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng  là 1 “đường liền”   trên khoảng đó.

Một số định lý cơ bản

Định lí 1:
a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R .
b. Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm lượng giác liên tục trên tùng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2:

Giả sử y=f(x) và y=g(x) là hai hàm liên tục tại điểm x0. Khi đó:
a. Các hàm y=f(x)+g(x),y=f(x)−g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại điểm x0.
b. Hàm y=f(x)/ g(x) liên tục tại điểm x0 nếu g(x0)≠0.

Định lí 3:

Nếu hàm y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=0.
Có thể phát biểu định lí 3 dưới một dạng khác như sau:
Nếu hàm y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 , thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a,b).

Phương pháp chứng minh phương trình có \(k\) nghiệm trong [a ; b]
Cho phương trình f(x)=0(∗)
Để chứng minh phương trình (*) có k nghiệm trong [a;b] , ta thực hiện các bước sau :

Bước 1: Chọn các số a<T1<T2<...<Tk−1<;b chia đoạn (a;b) thành k đoạn thỏa mãn :

Hàm y=f(x) liên tục trên [a;b] nên liện tục trên k đoạn [a;T1];[T1;T2];…;[Tk−1;b].

Ví dụ: Cho phương trình: 2x^3−6x+1=0 . Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm thuộc khoảng (−2;2) .

Giải

Xét hàm số f(x)=2x^3−6x+1, do f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R. Do đó, f(x) liên tục trên (−2;2).
Ta có : f(−2)=−3;  f(0)=1;  f(1)=−3;  f(2)=5.
Suy ra : f(−2).f(0)<0;  f(0).f(1)<0  và   f(1).f(2)<0 .
Do đó phương trình : 2x^3−6x+1=0 có 3 ngiệm thuộc khoảng (−2;2).

Giải bài tập SGK Đại số 11 Hàm số liên tục

Tổng hợp bài tập & Lời giải chi tiết, dễ hiểu nhất do Wikihoctap biên soạn, giúp các em giải đáp thắc mắc và so sánh kết quả!

Bài 1

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hà số f(x)=x³+2x-1 tại x₀=3.

Lời giải:

Bài 2

a) Xét tính liên tục của hàm y = g(x) tại x₀ = 2, biết :

b.Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm liên tục tại x₀=2.

Lời giải:

a) Ta có: g(2) = 5.

⇒ g(x) không liên tục tại x = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x = 2

Vậy để hàm số liên tục tại x = 2 thì cần thay 5 bằng 12.

Bài 3

Cho hàm số

a. Vẽ đồ thị hàm số y= f(x). Từ đó nêu nhận xét vê tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số (hình bên).

Quan sát đồ thị nhận thấy :

+ f(x) liên tục trên các khoảng (-∞ ; -1) và (-1 ; ∞).

+ f(x) không liên tục tại x = -1.

⇒ không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = -1.

⇒ Hàm không liên tục tại x = -1.

Bài 4

Cho các hàm số  và g(x) = tan(x) + sin(x)

Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.

Lời giải:

Bài 5

Ý kiến sau đúng hay sai?

“Nếu hàm y = f(x) liên tục tại điểm x₀ và hàm y = g(x) không liên tục tại x₀, thì y = f(x) + g(x) là một hàm không liên tục tại x₀“.

Lời giải:

Ý kiến trên đúng.

Vì giả sử ngược lại hàm y = h(x) = f(x) + g(x) là liên tục tại x₀. Khi đó, hàm g(x) = h(x) – f(x) là hiệu của hai hàm liên tục tại x₀ nên hàm số g(x) là hàm liên tục x₀

=> Mâu thuẫn với giả thiết là hàm số g(x) không liên tục tại x₀.

Bài 6

Chứng minh rằng phương trình:

a. 2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b. cos x = x có nghiệm

Lời giải:

a. Đặt f(x) = 2x³ – 6x + 1

TXĐ: D = R

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có: f(-2) = 2.(-2)³ – 6(-2) + 1 = – 3 < 0

f(0) = 1 > 0

f(1) = 2.1³ – 6.1 + 1 = -3 < 0.

⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0

⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; 1)

⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b. Xét g(x) = x – cos x liên tục trên R.

do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có:

g(-π) = -π – cos (-π) = -π + 1 < 0

g(π) = π – cos π = π – (-1) = π + 1 > 0

⇒ g(-π). g(π) < 0

⇒ phương trình x – cos x = 0 có nghiệm trong (-π; π) tức là cos x = x có nghiệm.

Bài tập tự luyện Hàm số liên tục

Luyện tập thêm các bài tập nâng cao &mở rộng sẽ giúp các em củng cố và ghi nhớ kiến thức lâu hơn!

Phần câu hỏi

Câu 1:

Câu 2:

Câu 3:

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (I)và(II)

C. Chỉ (II)và (III)

D. Cả (I)(II) (III)

Câu 4:

trên

B. Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tạix=4

C. Hàm số không liên tục tại x=4

D. Tất cả đều sai

Phần đáp án

1.C     2.D       3.B      4.A

Lời kết

Hy vọng với những thông tin trên, các em đã phần nào hiểu được cách làm các dạng bài tập trong bài: Hàm số liên tục này. Để nâng cao kỹ năng giải bài tập của mình, mời các em tham khảo các bài giảng khác có tại trang web dạy học trực tuyến wikihoctap. Chúc các em thành công!

>> Xem thêm:

• Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Khoảng cách Toán 11- Học tốt 
• Tổng hợp lý thuyết về hàm số
• Nguyên hàm- Học tốt Toán 12