Hàm số lượng giác – Trọn bộ bài tập lời giải chi tiết lớp 11

Bài: Hàm số lượng giác là bài học đầu tiên của chương trình Đại số lớp 11. Trong bài học này, các em sẽ được khám phá một kiến thức hoàn toàn mới, liên quan đến hàm số của các đại lượng: sin, cos, tan, cot. Cùng Wikihoctap bắt đầu bài học ngày hôm nay nhé!

Mục tiêu:

• Nắm được tính chất của từng loại hàm số y = sin x; y = cos x; y = tan x và y = cot x.
• Vẽ được đồ thị của các hàm số hàm số y = sin x; y = cos x; y = tan x và y = cot x.
• Giải được các bài tập liên quan đến hàm số lượng giác có trong bài.

>> Xem thêm: Phương trình lượng giác cơ bản – SGK đại số lớp 11

Nội dung bài học

Hàm số y= sin x

• Tập xác định: D=R
• Tập giác trị: [−1;1], tức là −1≤sinx≤1∀x∈R
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−π/2+k2π; π/2+k2π), nghịch biến trên mỗi khoảng (π/2+k2π; 3π/2+k2π).
• Hàm số y=sinx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
• Hàm số y=sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T=2π.
• Đồ thị hàm số y=sinx.

Hàm số y = cos x

• Tập xác định: D=R
• Tập giác trị: [−1;1], tức là −1≤cosx≤1∀x∈R
• Hàm số y=cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π;π+k2π), đồng biến trên mỗi khoảng (−π+k2π;k2π).
• Hàm số y=cosx là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
• Hàm số y=cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì T=2π.
• Đồ thị hàm số y=cosx.
• Đồ thị hàm số y=cos⁡x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y=sinx theo véc tơ v⃗ =(−π/2;0).

Hàm số y= tan x

• Tập xác định : D = R∖{π/2+kπ,k∈Z}
• Tập giá trị: R
• Là hàm số lẻ
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T=π
• Hàm đồng biến trên mỗi khoảng (−π/2+kπ; π/2+kπ)
• Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x=π/2+kπ,k∈Z làm một đường tiệm cận.
• Đồ thị:

Hàm số y= cot x

• Tập xác định : D = R∖{kπ,k∈Z}
• Tập giá trị: R
• Là hàm số lẻ
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T=π
• Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ;π+kπ)
• Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x=kπ,k∈Z làm một đường tiệm cận.
• Đồ thị:

Giải bài tập SGK trang 17 Hàm số lượng giác

Bài 1 (trang 17 SGK Đại số 11):

Hãy xác định giá trị của x trên đoạn [- π ; 3π/2] để hàm số y = tan x:

a. Nhận giá trị bằng 0

b. Nhận giá trị bằng 1

c. Nhận giá trị dương

d. Nhận giá trị âm

Lời giải:

Quan sát đồ thị hàm số y = tan x trên đoạn [-π; 3π/2].

a. tan x = 0 tại các giá trị x = -π; 0; π.

(Các điểm trục hoành cắt đồ thị hàm số y = tanx).

b. tan x = 1 tại các giá trị x = -3π/4; π/4; 5π/4.

c. tan x > 0 với x ∈ (-π; -π/2) ∪ (0; π/2) ∪ (π; 3π/2).

d. tan x < 0 khi x ∈ [-π/2; 0) ∪ [π/2; π)

Bài 2 (trang 17 SGK Đại số 11): 

Tìm tập xác định của hàm số:

Lời giải:

a) Hàm số  xác định

⇔ sin x ≠ 0

⇔ x ≠ k.π (k ∈ Z).

Tập xác định của hàm số là D = R \{kπ, k ∈ Z}.

b) Hàm số  xác định

Do đó (1) ⇔ 1 – cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k.2π.

Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ {k.2π, k ∈ Z}.

c) Hàm số  xác định

Vậy tập xác định của hàm số là 

d) Hàm số  xác định

Vậy tập xác định của hàm số là 

Bài 3 (trang 17 SGK Đại số 11): 

Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = | sin x|

Lời giải:

+ Đồ thị hàm số y = sin x.

+ Ta có:

Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách:

– Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành (sin x > 0).

– Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Ta được đồ thị hàm số y = |sin x| là phần nét liền.

Bài 4 (trang 17 SGK Đại số 11): 

Chứng minh rằng sin 2(x + kπ) = sin 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x

Lời giải:

+ sin 2x (x + kπ) = sin (2x + k2π) = sin 2x, (k ∈ Z)

(Do hàm số y = sin x có chu kì 2π).

⇒ Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.

+ Hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kì π và là hàm số lẻ.

Bảng biến thiên hàm số y = sin 2x trên [-π/2; π/2]

Đồ thị hàm số y = sin 2x.

Bài 5 (trang 18 SGK Đại số 11): 

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x để cos x = 1/2

Lời giải:

+ Vẽ đồ thị hàm số y = cos x.

+ Vẽ đường thẳng 

+ Xác định hoành độ các giao điểm.

Ta thấy đường thẳng  cắt đồ thị hàm số y = cos x tại các điểm có hoành độ

Bài 6 (trang 18 SGK Đại số 11):

Dựa trên đồ thị hàm số y = sin x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = sin x:

Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x ta thấy

y = sin x > 0

⇔ x ∈ (-2π; -π) ∪ (0; π) ∪ (2π; 3π) ∪…

hay x ∈ (k2π; π + k2π) với k ∈ Z.

Bài 7 (trang 18 SGK Đại số 11): 

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x ta thấy

y = cos x < 0

Bài 8 (trang 18 SGK Đại số 11): 

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

Lời giải:

a) Ta có:

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3.

b) Ta có: -1 ≤ sin x ≤ 1

⇒ -2 ≤ -2sin x ≤ 2

⇒ 1 ≤ 3 – 2sin x ≤ 5

hay 1 ≤ y ≤ 5.

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5.

Bài tập tự luyện Hàm số lượng giác

Các bài tập tự luyện sẽ giúp em ghi nhớ và nâng cao kiến thức!

Phần câu hỏi

Câu 1: Tâp xác định của hàm số y=1/ (sinx−cosx) là

A. x≠kπ.

B. x≠k2π.

C. x≠π/2+kπ.

D. x≠π/4+kπ.

Câu 2: Tập xác định của hàm số y=cotx/ (cosx−1) là

A. R∖{kπ/2,k∈Z}

B. R∖{π/ 2+kπ,k∈Z}

C. R\ {kπ,k∈Z}

D. R

Câu 3: Tập xác định của hàm số y=tan2x

A. x≠−π/4+kπ/2

B. x≠π/2+kπ

C. x≠π/4+kπ/2

D. x≠π/4+kπ

Câu 4: Tập xác định cùa hàm số y=(1−2cosx)/ (sin3x−sinx )là

A. R∖{kπ;π/4+kπ,k=Z}

B. R∖{π/4+kπ/2,k∈Z}.

C. R∪{kπ,k∈2}.

D. R∖{kπ;π/ 4+kπ/ 2,k=Z}

Câu 5:

.

Phần đáp án

1.D     2.C     3.C     4.D    5.A

Lời kết

Như vậy, bài học “Hàm số lượng giác” hôm nay đến đây là kết thúc rồi. Các em đã nắm vững được toàn bộ những kiến thức vô cùng mới mẻ và thú vị trong bài học này chưa? Để tiếp tục khám phá chương trình Đại số 11, hãy đón xem những bài giảng tiếp theo của wikihoctap nhé!

>> Xem thêm:

• Tỉ số lượng giác của góc nhọn
• Bảng lượng giác
• Tổng hợp ý thuyết về hàm số
• Kiến thức cần nhớ về hàm số bậc hai