Hướng dẫn giải bài tập hàm số lũy thừa – giải tích lớp 12

Hàm số lũy thừa là một nội dung hoàn toàn mới trong chương trình giải tích 12. Chính vì vậy mà các bạn có thể gặp một số khó khăn khi học đến nội dung này. Hãy theo dõi kỹ bài giảng: Hàm số lũy thừa do wikihoctap biên soạn để biết thêm nhiều thông tin bổ ích về nội dung này nhé!

Mục tiêu bài học hàm số lũy thừa

• Nắm được khái niệm của hàm số lũy thừa.
• Biết cách tìm tập xác định, tính đạo hàm và vẽ đồ thị hàm số của hàm số lũy thừa.

Kiến thức cần nắm hàm số lũy thừa

Bài học hôm nay có một số kiến thức trọng tâm như sau:

1. Định nghĩa: Hàm số y = x^α với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = x^α là:

    • D = R nếu α là số nguyên dương.

    • D = R \ {0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

    • D = (0; +∝) với α không nguyên.

3. Đạo hàm: Hàm số y = x^α có đạo hàm với mọi x > 0 và (x^α)’ = α.x^{α – 1}.

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; +∝).

y = xα, α > 0	y = xα, α < 0
a. Tập khảo sát: (0; +∝)	a. Tập khảo sát: (0; +∝)
b. Sự biến thiên + y’ = αxα – 1 > 0, ∀x > 0 + Giới hạn đặc biệt + Tiệm cận: không có	b. Sự biến thiên + y’ = αxα – 1 < 0, ∀x > 0 + Giới hạn đặc biệt + Tiệm cận: không có – Trục 0x là tiệm cận ngang – Trục 0y là tiệm cận đứng.
c. Bảng biến thiên	c. Bảng biến thiên

d. Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = x^α luôn đi qua điểm I(1; 1)

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x³, y = x^-2, y = x^π

Hướng dẫn giải bài tập SGK: hàm số lũy thừa

Để nắm chắc lý thuyết, cô và các bạn cùng nhau giải các bài tập trong sách giáo khoa nhé!

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 57: Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng: y = x^2, y = x^(1/2), y = x^(-1).

Lời giải:

Đồ thị của hàm số y = x²: đường màu đỏ.

Đồ thị của hàm số y = x^(1/2): đường màu xanh.

Đồ thị của hàm số y = x^(-1) đường màu tím.

Ta có:

Tập xác định của hàm số y = x² là R.

Tập xác định của hàm số y = x^(1/2) là [0,+∞).

Tập xác định của hàm số y = x^(-1)là R\{0}.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 57: 

Tính đạo hàm của các hàm số:

Lời giải:

y’= [(3x² – 1)^(-√2)]’

= -√2.(3x² – 1)^(-√2-1).(3x² – 1)’

= -√2.(3x² – 1)^(-√2-1).6x

= -6√2 x.(3x² – 1)^(-√2-1).

Bài 1 (trang 60 SGK Giải tích 12): 

Tìm tập xác định của các hàm số:

Lời giải:

a) Hàm số  xác định

⇔ 1 – x > 0

⇔ x < 1.

Vậy tập xác định D = (-∞; 1).

b) Hàm số  xác định

⇔ 2 – x² > 0

⇔ x² < 2

⇔ -√2 < x < √2.

Vậy tập xác định D = (-√2; √2).

c) Hàm số

 xác định

⇔ x² – 1 > 0

⇔ x² > 1

⇔ x > 1 hoặc x < -1.

Vậy tập xác định D = (-∞; -1) ∪ (1; +∞).

d) Hàm số  xác định

⇔ x² – x – 2 > 0

⇔ (x + 1)(x – 2) > 0

⇔ x < -1 hoặc x > 2

Vậy tập xác định D = (-∞; -1) ∪ (2; +∞).

Bài 2 (trang 61 SGK Giải tích 12): 

Tính đạo hàm của các hàm số:

Lời giải:

Bài 3 (trang 61 SGK Giải tích 12): 

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

Lời giải:

a) Xét hàm số

 ta có:

– Tập khảo sát : (0 ; +∞).

– Sự biến thiên:

+  với ∀ x > 0.

+ Giới hạn:

+ Tiệm cận : Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị hàm số:

b) Xét hàm số y = x^-3, ta có :

– Tập khảo sát : (0 ; +∞).

– Sự biến thiên:

+ y’ = -3.x^{-3 – 1} = -3.x^-4 < 0 với ∀ x > 0.

+ Giới hạn:

⇒ x = 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Bài 4 (trang 61 SGK Giải tích 12): 

Hãy so sánh các số sau với 1:

a) (4,1)^2,7;

b) (0,2)^0,3;

c) (0,7)^3,2;

d) (√3)^0,4

Lời giải:

a) Ta có: 2,7 > 0 nên hàm y = x^2,7 luôn đồng biến trên (0 ; +∞).

Vì 4,1 > 1 ⇒ (4,1)^2,7 > 1^2,7 = 1.

b) Ta có : 0,3 > 0 nên hàm số y = x^0,3 đồng biến trên (0 ; +∞).

Vì 0,2 < 1 ⇒ 0,2^0,3 < 1^0,3 = 1.

c) Ta có: 3,2 > 0 nên hàm số y = x^3,2 đồng biến trên (0 ; +∞)

Vì 0,7 < 1 ⇒ 0,7^3,2 < 1^3,2 = 1.

d) Ta có: 0,4 > 0 nên hàm số y = x^0,4 đồng biến trên (0 ; +∞)

Vì √3 > 1 ⇒ (√3)^0,4 > 1^0,4 = 1.

Bài 5 (trang 61 SGK Giải tích 12): 

So sánh

Lời giải:

Hàm số y = x^α luôn đồng biến trên (0 ; +∞) với α > 0

a) Ta có : 7,2 > 0

Vì 3,1 < 4,3 nên (3,1)^7,2 < (4,3)^7,2.

b) Ta có : 2,3 > 0

c) Ta có : 0,3 > 0

Vì 0,3 > 0,2 nên (0,3)^0,3 > (0,2)^0,3.

Lời kết:

Giống như các hàm số thông thường, hàm số lũy thừa cũng có tập xác định, đạo hàm và đồ thị hàm số. Tuy nhiên cách làm sẽ khác một chút so với khi thực hiện trên hàm số thông thường. Hãy nắm vững kiến thức này để làm chủ được giải tích 12 nhé! Wikihoctap chúc bạn thành công!

Xem thêm các bài viết có liên quan:

• Phương trình lượng giác cơ bản cần nhớ
• Tổng hợp lý thuyết về hàm số – Đại số 
• Lũy thừa của số hữu tỉ – Bài tập & Lời giải SGK 
• Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân 2 lũy thừa cùng cơ số