Lớp 12

Hướng dẫn giải bài tập hàm số lũy thừa – giải tích lớp 12

5/5 - (1 bình chọn)

Hàm số lũy thừa là một nội dung hoàn toàn mới trong chương trình giải tích 12. Chính vì vậy mà các bạn có thể gặp một số khó khăn khi học đến nội dung này. Hãy theo dõi kỹ bài giảng: Hàm số lũy thừa do wikihoctap biên soạn để biết thêm nhiều thông tin bổ ích về nội dung này nhé!

Mục tiêu bài học hàm số lũy thừa

  • Nắm được khái niệm của hàm số lũy thừa.
  • Biết cách tìm tập xác định, tính đạo hàm và vẽ đồ thị hàm số của hàm số lũy thừa.

Kiến thức cần nắm hàm số lũy thừa

Bài học hôm nay có một số kiến thức trọng tâm như sau:

1. Định nghĩa: Hàm số y = xα với α ∈ R được gọi là hàm số lũy thừa.

2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số y = xα là:

    • D = R nếu α là số nguyên dương.

    • D = R \ {0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

    • D = (0; +∝) với α không nguyên.

3. Đạo hàm: Hàm số y = xα có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα)’ = α.xα – 1.

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; +∝).

y = xα, α > 0 y = xα, α < 0
a. Tập khảo sát: (0; +∝) a. Tập khảo sát: (0; +∝)
b. Sự biến thiên

+ y’ = αxα – 1 > 0, ∀x > 0

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải+ Giới hạn đặc biệt

+ Tiệm cận: không có

b. Sự biến thiên

+ y’ = αxα – 1 < 0, ∀x > 0

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải+ Giới hạn đặc biệt

+ Tiệm cận: không có

– Trục 0x là tiệm cận ngang

– Trục 0y là tiệm cận đứng.

c. Bảng biến thiên Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải c. Bảng biến thiên Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

d. Đồ thị:

Hàm số lũy thừa
Hướng dẫn giải bài tập hàm số lũy thừa – giải tích lớp 12

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1; 1)

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x3, y = x-2, y = xπ

Hướng dẫn giải bài tập SGK: hàm số lũy thừa

Để nắm chắc lý thuyết, cô và các bạn cùng nhau giải các bài tập trong sách giáo khoa nhé!

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 57: Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng: y = x^2, y = x^(1/2), y = x^(-1).

Lời giải:

Đồ thị của hàm số y = x2: đường màu đỏ.

Đồ thị của hàm số y = x(1/2): đường màu xanh.

Đồ thị của hàm số y = x(-1) đường màu tím.

Hàm số lũy thừa

Ta có:

Tập xác định của hàm số y = x2 là R.

Tập xác định của hàm số y = x(1/2) là [0,+∞).

Tập xác định của hàm số y = x(-1)là R\{0}.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 57: 

Tính đạo hàm của các hàm số:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 Tra Loi Cau Hoi Toan 12 Giai Tich Bai 2 Trang 57 2

Lời giải:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 Tra Loi Cau Hoi Toan 12 Giai Tich Bai 2 Trang 57 3

y’= [(3x2 – 1)(-√2)]’

= -√2.(3x2 – 1)(-√2-1).(3x2 – 1)’

= -√2.(3x2 – 1)(-√2-1).6x

= -6√2 x.(3x2 – 1)(-√2-1).

Bài 1 (trang 60 SGK Giải tích 12): 

Tìm tập xác định của các hàm số:

Giải bài 1 trang 60 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 1 Trang 60 Sgk Giai Tich 12 1

Lời giải:

a) Hàm số Giải bài 1 trang 60 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 1 Trang 60 Sgk Giai Tich 12 2 xác định

⇔ 1 – x > 0

⇔ x < 1.

Vậy tập xác định D = (-∞; 1).

b) Hàm số hàm số lũy thừa xác định

⇔ 2 – x2 > 0

⇔ x2 < 2

⇔ -√2 < x < √2.

Vậy tập xác định D = (-√2; √2).

c) Hàm số

Giải bài 1 trang 60 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 1 Trang 60 Sgk Giai Tich 12 4 xác định

⇔ x2 – 1 > 0

⇔ x2 > 1

⇔ x > 1 hoặc x < -1.

Vậy tập xác định D = (-∞; -1) ∪ (1; +∞).

d) Hàm số hàm số lũy thừa xác định

⇔ x2 – x – 2 > 0

⇔ (x + 1)(x – 2) > 0

⇔ x < -1 hoặc x > 2

Vậy tập xác định D = (-∞; -1) ∪ (2; +∞).

Bài 2 (trang 61 SGK Giải tích 12): 

Tính đạo hàm của các hàm số:

hàm số lũy thừa

Lời giải:

Giải bài 2 trang 61 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 2 Trang 61 Sgk Giai Tich 12 2
hàm số lũy thừa

Bài 3 (trang 61 SGK Giải tích 12): 

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

Giải bài 3 trang 61 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 61 Sgk Giai Tich 12 1

Lời giải:

a) Xét hàm số

Giải bài 3 trang 61 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 61 Sgk Giai Tich 12 2 ta có:

– Tập khảo sát : (0 ; +∞).

– Sự biến thiên:

Giải bài 3 trang 61 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 61 Sgk Giai Tich 12 3 với ∀ x > 0.

+ Giới hạn:

Giải bài 3 trang 61 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 61 Sgk Giai Tich 12 4

+ Tiệm cận : Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+ Bảng biến thiên:

Hàm số lũy thừa

– Đồ thị hàm số:

Hàm số lũy thừa

b) Xét hàm số y = x-3, ta có :

– Tập khảo sát : (0 ; +∞).

– Sự biến thiên:

+ y’ = -3.x-3 – 1 = -3.x-4 < 0 với ∀ x > 0.

+ Giới hạn:

hàm số lũy thừa

⇒ x = 0 (trục Oy) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

    y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

Hàm số lũy thừa

– Đồ thị:

Hàm số lũy thừa

Bài 4 (trang 61 SGK Giải tích 12): 

Hãy so sánh các số sau với 1:

a) (4,1)2,7;

b) (0,2)0,3;

c) (0,7)3,2;

d) (√3)0,4

Lời giải:

a) Ta có: 2,7 > 0 nên hàm y = x2,7 luôn đồng biến trên (0 ; +∞).

Vì 4,1 > 1 ⇒ (4,1)2,7 > 12,7 = 1.

b) Ta có : 0,3 > 0 nên hàm số y = x0,3 đồng biến trên (0 ; +∞).

Vì 0,2 < 1 ⇒ 0,20,3 < 10,3 = 1.

c) Ta có: 3,2 > 0 nên hàm số y = x3,2 đồng biến trên (0 ; +∞)

Vì 0,7 < 1 ⇒ 0,73,2 < 13,2 = 1.

d) Ta có: 0,4 > 0 nên hàm số y = x0,4 đồng biến trên (0 ; +∞)

Vì √3 > 1 ⇒ (√3)0,4 > 10,4 = 1.

Bài 5 (trang 61 SGK Giải tích 12): 

So sánh

hàm số lũy thừa

Lời giải:

Hàm số y = xα luôn đồng biến trên (0 ; +∞) với α > 0

a) Ta có : 7,2 > 0

Vì 3,1 < 4,3 nên (3,1)7,2 < (4,3)7,2.

b) Ta có : 2,3 > 0

hàm số lũy thừa

c) Ta có : 0,3 > 0

Vì 0,3 > 0,2 nên (0,3)0,3 > (0,2)0,3.

Lời kết:

Giống như các hàm số thông thường, hàm số lũy thừa cũng có tập xác định, đạo hàm và đồ thị hàm số. Tuy nhiên cách làm sẽ khác một chút so với khi thực hiện trên hàm số thông thường. Hãy nắm vững kiến thức này để làm chủ được giải tích 12 nhé! Wikihoctap chúc bạn thành công!

Xem thêm các bài viết có liên quan:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button