Tìm hiểu về hệ thức vi ét và ứng dụng của hệ thực này
Hệ thức Vi ét là một kiến thức quan trọng trong chương trình toán 9. Nó được áp dụng vào để giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau, trong đó có giải phương trình bậc 2. Cùng tìm hiểu về hệ thức vi ét và ứng dụng của nó trong bài học ngày hôm nay nhé!
Mục tiêu:
- Nhớ được hệ thức vi ét.
- Nắm được hệ thức vi ét và ứng dụng của hệ thức này trong việc giải toán.
- Giải được các bài toán liên quan đến ứng dụng của hệ thức vi ét.
I. Lý thuyết về hệ thức vi ét và ứng dụng
1. Hệ thức vi ét:
Xét phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0), nếu x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình, dù nghiệm đó là nghiệm kép hay hai nghiệm phân biệt đều có thể viết được dưới dạng sau:
- x₁ =
và x₂ = 
Khi đó nếu x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0), ta có hệ phương trình sau:
- x1 + x2 =
và x1 . x2 = 
Với lý thuyết trên có thể thấy hệ thức vi ét là kiến thức nền tảng rất quan trọng để có thể giải được tất cả các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao trong chương trình Toán học lớp 9 và các lớp khác.
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng
a. Tính nhẩm nghiệm:
Ứng dụng định lý vi ét tính nhẩm nghiệm như sau:
- Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0) với a + b + c = 0 thì ta có một nghiệm của phương trình này là x₁ = 1 và một nghiệm còn lại là x₂ =
- Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (Trong đó a ≠0) với a – b + c = 0 thì ta có một nghiệm của phương trình này là x₁ = -1 và một nghiệm còn lại là x₂ =
b. Tìm 2 số khi biết tích và tổng:
Ứng dụng định lý vi ét cho bài toán tìm 2 số khi biết tích và tổng như sau:
- Nếu 2 số có tổng là S và tích là P thì 2 số đó sẽ là 2 nghiệm của phương trình một ẩn sau: x² – Sx + P = 0
- Điều kiện để hai số này tồn tại là S² – 4P ≥ 0
Bài giảng trên đây là toàn bộ những kiến thức cơ bản về công thức vi ét, hệ thức vi ét và áp dụng bài tập chi tiết nhất. Để củng cố lại toàn bộ kiến thức về nội dung quan trọng này, dưới đây là sơ đồ tư duy về hệ thức.
II. Các dạng bài tập về hệ thức vi ét và ứng dụng:
Trong chương trình Toán học lớp 9, hệ thức vi ét là kiến thức nền tảng để có thể giải được những bài toán cơ bản và khó, đặc biệt là theo sát với chương trình Toán học về sau. Chính vì vậy để nắm vững kiến thức về hệ thức vi ét, các công thức vi ét, dưới đây là những dạng bài tập liên quan thường gặp giúp các bạn học sinh ôn luyện được hiệu quả.
Bài tập 1 (Bài 25/SGK trang 53 Toán 9 Tập 2).
Đối với những phương trình sau, cho x₁, x₂ lần lượt là hai nghiệm của những phương trình đã cho (nếu có). Không thực hiện giải phương trình và hãy điền đáp án của Δ, x₁ + x₂, x₁ . x₂
- Câu a: 2x² – 17x + 1 = 0
- Câu b: 5x² – x – 35 = 0
- Câu c: 8x² – x + 1 = 0
- Câu d: 25x² + 10x + 1 = 0
Bài tập 2: (Bài 25/SGK trang 53 Toán 9 Tập 2).
Áp dụng điều kiện của hệ thức vi ét a + b + c = 0 hay a – b + c = 0 và tính nhẩm nghiệm của những phương trình bậc hai sau:
- Câu a: 35x² – 37x + 2 = 0
- Câu b: 7x² + 500x – 507 = 0
- Câu c: x² – 49x – 50 = 0
- Câu d: 4321x² + 21x – 4300 = 0
Bài tập 3: (Bài 26/SGK trang 53 Toán 9 Tập 2).
Áp dụng hệ thức vi ét để tính nhẩm những nghiệm của các phương trình bậc hai sau:
- Câu a: x² – 7x + 12 = 0
- Câu b: x² + 7x + 12 = 0
Bài tập 4: (Bài 27/SGK trang 54 Toán 9 Tập 2).
Cho các phương trình bậc hai một ẩn, không giải phương trình, hãy áp dụng hệ thức vi ét để tính tổng và tích của các nghiệm nếu có của phương trình:
- Câu a: 4x² + 2x – 5 = 0
- Câu b: 9x² – 12x + 4 = 0
- Câu c: 5x² + x + 2 = 0
- Câu d: 159x² – 2x – 1 = 0
Bài tập 5: (Bài 30/SGK trang 54 Toán 9 Tập 2).
Áp dụng hệ thức vi ét, để các phương trình sau có nghiệm, tìm giá trị của m và tính giá trị của tổng, tích theo m.
- Câu a: x² – 2x + m = 0
- Câu b: x² + 2(m – 1)x + m² = 0
Như vậy, ta có thể sử dụng hệ thức vi ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai và tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Sau này, khi gặp các dạng bài tương tự, các em hãy nhanh trí áp dụng ngay hệ thức vi ét và ứng dụng nó để giải các bài toán đó nhé!
Xêm thêm >>>
