Hệ tọa độ trong không gian – Kiến thức hình học lớp 12
Ở chương trình toán lớp 10, các bạn đã được học về hệ tọa độ Oxy trong mặt phẳng. Bài học ngày hôm nay sẽ nâng hệ tọa độ lên một tầm cao mới. Đó chính là: Hệ tọa độ trong không gian, Oxyz. Cùng bắt đầu bài học để khám phá thêm những kiến thức thú vị về hệ tọa độ này ngay thôi nào!
Mục tiêu bài giảng
Bài giảng bao gồm các phần kiến thức sau đây:
- Điểm, đường thẳng, vecto, mặt phẳng trong tọa độ không gian
- Các ví dụ minh họa
- Hướng dẫn giải bài tập SGK
- Bài tập tự luyện
Lý thuyết cần nắm Hệ tọa độ trong không gian
Các em cần nắm vững kiến thức cơ bản trước khi bắt đầu làm bài tập!
1.Tọa độ của điểm và của Vecto
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→, j→, k→ là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
Chú ý: 
2. Tọa độ của vectơ
a) Định nghĩa: u→ = (x; y; z) ⇔ k→ = xi→ + yj→ + zk→
b) Tính chất: Cho a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3), k ∈ R
• a→ ± b→ = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3; )
• ka→ = (ka1; ka2; ka3)
• 0→ = (0; 0; 0), i→ = (1; 0; 0), j→ = (0; 1; 0), k→ = (0; 0; 1)
• a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)
• a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
• a→ ⊥ b→ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
3. Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa: M(x; y; z) ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→ (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .
b) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)
• AB→ = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)
• Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB:
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
4. Tích có hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vectơ a→ và b→ kí hiệu là [a→, b→], được xác định bởi
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
• [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→
• [a→, b→] = -[b→, a→]
• [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→
• |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→) (Chương trình nâng cao)
• a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0
• Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→], AD→|
• Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→], AC→|
• Thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’ : VABCD.A’B’C’D’ = |[AB→, AD→].AA’→|
• Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|
Giải bài tập SGK Hệ tọa độ không gian
Tổng hợp bài tập & lời giải SGK do wikihoctap biên soạn chi tiết và chính xác, gúp em học tập dễ dàng hơn!
Bài 1
Cho ba vectơ: a→ = (2; -5; 3), b→ = (0; 2; -1), c→ = (1; 7; 2)
a) Tính tọa độ của vectơ d→ = 4a→ – 1/3 b→ + 3c→
b) Tính tọa độ của vectơ e→ = a→ – 4b→ – 2c→
Lời giải:
a) Ta có: 4a→ = (8; -20; 12)
-1/3 b→ = (0; -2/3 ; 1/3)
3c→ = (3; 21; 6)
Vậy d→ = 4a→ – 1/3 b→ + 3c→ = (11; 1/3; 55/3)
b) Ta có: -4b→ = (0; -8; 4)
-2c→ = (-2; -14; -4)
Vậy e→ = a→ – 4b→ – 2c→ = (0; -27; 3)
Bài 2
Cho ba điểm A(1; -1; 1), B(0; 1; 2), C(1;0;1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Lời giải:
Bài 3
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Lời giải:
Bài 4: Tính:
Lời giải:
Bài 5
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau đây:
a)x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 1 = 0
b)3x2 + 3y2 + 3z2– 6x + 8y + 15z – 3 = 0
Lời giải:
Bài 6
Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:
a)Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b)Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
Lời giải:
Lời kết
Những kiến thức liên quan đến hệ tọa độ trong không gian thường khá trừu tượng. Đừng lo vì đã có wikihoctap đồng hành cùng bạn trong việc giải quyết các bài toán khó nhằn. Nếu có bất kỳ khó khăn nào trong quá trình học, hãy liên hệ với wikihoctap để được giải đáp nhé!
>> Xem thêm:
