Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp – giúp em học tốt đại số 11
Đối với các bài toán yêu cầu các em đếm số trường hợp có thể xảy ra dựa trên một điều kiện cho trước, thay vì liệt kê, chúng ta còn có thể sử dụng hoán vị chỉnh hợp tổ hợp. Đây là một cách làm nhanh chóng, giúp em tìm ra kết quả chỉ sau một nốt nhạc. Cùng tìm hiểu cách làm trong bài giảng này của wikihoctap nhé!
Mục tiêu:
- Hiểu được định nghĩa và cách tính hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
- Giải được các bài toán trong sách giáo khoa cùng hệ thống bài tập tự luyện.
Lý thuyết cần nắm Hoán vị- Chỉnh hợp- Tổ hợp
Tổng hợp các kiến thức lý thuyết chi tiết, dễ hiểu nhất & các ví dụ minh họa trực quan.
Hoán vị
1. Giai thừa
n!=1.2.3…n
Qui ước: 0!=1
n!=(n−1)!n
n!p!=(p+1).(p+2)...n (với n>p)
n!(n−p)!=(n−p+1).(n−p+2)...n (với n>p)
2. Hoán vị
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1). Kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
3. Số các hoán vị
Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có định lý sau đây.
Định lý
Ví dụ: Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Có bao nhiêu cách xếp 5 nam, 5 nữ vào 2 dãy ghế trên biết nam và nữ được xếp tùy ý.
Giải
Mỗi cách xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế một cách tùy ý là một hoán vị của 10 người. Vậy có 10!=3628800 cách xếp.
Chỉnh hợp
1. Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
2. Số các chỉnh hợp
Kí hiệu Akn là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1≤k≤n). Ta có định lí sau đây.
Định lý
Akn=n(n−1)(n−2)…(n−k+1)=n!(n−k)!
Chú ý
⚡Với quy ước 0!=1, ta có
⚡Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy
Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, …, 9?
Giải
Mỗi số tự nhiên có năm chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy năm chữ số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9. Vậy số các số đó là:
A95=9.8.7.6.5=15120
Tổ hợp
1. Định nghĩa
Giả sử tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi tập con gồm k (1≤k≤n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Quy ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
2. Số các tổ hợp
Kí hiệu Ckn là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0≤k≤n).Ta có định lí sau
Định lý:
3. Tính chất của các số Ckn
Tính chất 1
Ckn=Cn−kn
Tính chất 2 (công thức Pa-xcan)
Ck−1n−1+Ckn−1=Ckn (1≤k≤n)
Ví dụ: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ (các bông hồng xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn ra một bó hoa hồng gồm 7 bông trong đó có đúng một bông hồng đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Giải
Số cách chọn 1 bông hồng đỏ trong 4 bông hồng đỏ là một tổ hợp chập 1 của 4, nên số cách chọn là: C14.
6 bông hồng còn lại chọn trong 8 bông (gồm vàng và trắng), có số cách chọn là: C68 .
Vậy số cách chọn một bó hoa hồng gồm 7 bông trong đó có đúng một bông hồng đỏ là C14.C68=112 cách.
Giải bài tập SGK Đại số 11 Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp
Bài 1 (trang 54 SGK Đại số 11):
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi:
a. Có tất cả bao nhiêu số?
b. Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
c. Có bao nhiêu số bé hơn 432.000?
Lời giải:
Đặt A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
n(A) = 6.
a. Việc lập các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là việc sắp xếp thứ tự 6 chữ số của tập A. Mỗi số là một hoán vị của 6 phần tử đó
⇒ Có P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 số thỏa mãn
Vậy có 720 số thỏa mãn đầu bài.
b. Việc lập các số chẵn là việc chọn các số có tận cùng bằng 2, 4 hoặc 6.
Gọi số cần lập là 
+ Chọn f : Có 3 cách chọn (2 ; 4 hoặc 6)
+ Chọn e : Có 5 cách chọn (khác f).
+ Chọn d : Có 4 cách chọn (khác e và f).
+ Chọn c : Có 3 cách chọn (khác d, e và f).
+ Chọn b : Có 2 cách chọn (khác c, d, e và f).
+ Chọn a : Có 1 cách chọn (Chữ số còn lại).
⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.4.3.2.1 = 360 (cách chọn).
Vậy có 360 số chẵn, còn lại 720 – 360 = 360 số lẻ.
c. Chọn một số nhỏ hơn 432.000 ta có hai cách chọn :
Chọn số có chữ số hàng trăm nghìn nhỏ hơn 4.
+ Chọn chữ số hàng trăm nghìn : Có 3 cách (1, 2 hoặc 3).
+ Sắp xếp 5 chữ số còn lại : Có P5 = 120 cách.
⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.120 = 360 số thỏa mãn.
Bài 2 (trang 54 SGK Đại số 11):
Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế kê thành một dãy?
Lời giải:
Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế là một hoán vị của một tập hợp có 10 phần tử.
Vậy có P10 = 10! = 3.628.800 cách sắp xếp.
Bài 3 (trang 54 SGK Đại số 11):
Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?
Lời giải:
Việc cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho chính là việc chọn 3 bông hoa trong số 7 bông hoa rồi sắp xếp chúng vào các lọ.
Vậy số cách chọn chính là 
(cách).
Bài 4 (trang 55 SGK Đại số 11):
Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?
Lời giải:
Việc chọn 4 bóng đèn mắc nối tiếp chính là việc chọn lấy 4 bóng đèn khác nhau trong tập hợp 6 bóng đèn và sắp xếp chúng theo thứ tự và chính là chỉnh hợp chập 4 của 6.
Vậy có 
(cách).
Bài 5 (trang 55 SGK Đại số 11):
Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:
a. Các bông hoa khác nhau?
b. Các bông hoa như nhau?
Lời giải:
a. Việc cắm 3 bông hoa vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa rồi sắp xếp chúng với các bông hoa tương ứng và chính là kết quả của chỉnh hợp chập 3 của 5.
(Vì các bông hoa khác nhau nên mỗi cách sắp xếp cho ta 1 kết quả khác nhau).
Vậy có: 
(cách).
b. Việc cắm 3 bông hoa giống nhau vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa để cắm và chính là kết quả của tổ hợp chập 3 của 5.
(Vì các bông hoa giống nhau nên sắp xếp các lọ theo cách nào cũng đều cho cùng một kết quả).
Vậy có: 
(cách).
Bài 6 (trang 55 SGK Đại số 11):
Trong mặt phẳng, có 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
Lời giải:
Cứ chọn 3 điểm không thẳng hàng bất kì ta được một tam giác.
Việc lập các tam giác chính là chọn 3 điểm trong tập hợp 6 điểm đã cho và chính là tổ hợp chập 3 của 6.
Vậy có : 
cách lập.
Bài 7 (trang 55 SGK Đại số 11):
Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó?
Lời giải:
Việc lập một hình chữ nhật được thực hiện bởi hai bước:
+ Chọn 2 đường thẳng trong số 4 đường thẳng.
Có: 
cách chọn.
+ Chọn 2 đường thẳng trong số 5 đường thẳng vuông góc
Có: 
cách chọn.
⇒ Theo quy tắc nhân: Có 10.6 = 60 (cách lập hình chữ nhật).
Bài tập tự luyện Hoán vị- Chỉnh hợp- Tổ hợp
Câu 1: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 ?
A. 192
B. 202
C. 211
D. 180
Câu 2: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế
A. 48
B. 42
C. 46
D. 50
Câu 3: Trong tủ sách có tất cả 10 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:
A. 10!
B. 9!
C. 9! – 2!
D. 725760
Câu 4: Từ các số 1,2,3 lập được bao nhiều số tự nhiên gôm 6 chữ số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.
A. 76
B. 42
C. 80
D. 68
Câu 5: Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là:
A. C3 của 7
B. A3 của 7
C. 7!/ 3!
D. 7
Phần đáp án
1.A 2.A 3. D 4.A 5.A
Lời kết
Việc giải quyết các bài toán đếm sẽ không còn khó khăn nếu các em vận dụng tốt các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp để giải. Nếu cảm thấy những bài tập trên là chưa đủ, hãy tham khảo thêm các bài tập có tại wikihoctap nhé! Xin chào và hẹn gặp lại các em trong tiết học sau!
>> Xem thêm:
