Lớp 11

Khoảng cách toán lớp 11 – Bài tập và lời giải chi tiết nhất

Rate this post

Bài học ” Khoảng cách “ sẽ cung cấp cho các bạn các kiến thức quan trọng trong phần tính khoảng cách .Điển hình như :  cách tính khoảng cách từ một điểm điến một mặt phẳng , từ một điểm đến một đường thẳng , hay khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng với nhau . Các bạn hãy tham khảo bài giảng dưới đây để hiểu rõ về bài học nhé !

Mục tiêu bài học : Khoảng cách 

Đây sẽ là những kiến thức bạn có sau khi học xong bài học hôm nay

  • Các tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và mặt phẳng
  • Các tính khoảng cách từ mặt phẳng đến đường thẳng và mặt phẳng
  • Các tính khoảng cách từ đường thẳng đế đường thẳng và mặt phẳng

Kiến thức cơ bản của bài học : Khoảng cách 

Sau đây , chúng ta cùng tham khảo những kiến thức cơ bản của bài học nhé !

I. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

ly-thuyet-khoang-cach

Ta có được kết luận như sau : Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng Δ.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

ly-thuyet-khoang-cach

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).

II. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.

1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta có kết luận như sau :  Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).

2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

ly-thuyet-khoang-cach

Ta có kết luận về cách tính Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

III. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

1. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau và a ⊥ b

ly-thuyet-khoang-cach

– Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.

– Trong (α) dựng BA ⊥ (α) tại A, ta được độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

2. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau

Cách 1

ly-thuyet-khoang-cach+ Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b.

+ Lấy một điểm M tùy ý trên b, dựng MM’ ⊥ (α) tại M’.

+ Từ M’ dựng b’ // b cắt a tại A.

+ Từ A dựng AB // MM’ cắt b tại B,

Vậy ta có thể rút ra kết luận độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Cách 2

ly-thuyet-khoang-cach

+ Ta dựng mặt phẳng (α) ⊥ a tại O, (α) cắt b tại I.

+ Dựng hình chiếu vuông góc của b là b’ trên mặt phẳng (α).

+ Trong mặt phẳng (α), vẽ OH ⊥ b’, H ∈ b’.

+ Từ H dựng đường thẳng song song với a và cắt b tại B.

+ Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.

Ta kết luận như sau :  Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Hướng dẫn giải bài tập toán SGK lớp 11 bài học : Khoảng cách 

Các bạn hãy làm những bài tập cơ bản trong SGK dưới đây nhằm ôn luyện lại những kiến thức đã học nhé !

Bài 1 : 

Dưới đây là một vài câu hỏi lý thuyết của bài học : Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là đúng?

a) Đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu Δ ⊥a và Δ ⊥b.

b) Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau thì đường vuông góc chung của a và b luôn luôn vuông góc với (P).

c) Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, Δ) và (b, Δ).

d) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.

e) Đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

Lời giải:

a) Sai

Chúng ta có thể sửa lại: “Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời Δ ⊥ a và Δ ⊥ b”

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Sửa lại cho đúng như sau : Đường thẳng đi qua M trên a và vuông góc với a, đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.

e) Sai.

Bài 2 :

Đề bài của chúng ta như sau : Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H , K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC.

a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.

b) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).

c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.

khoang cach

Lời giải của bài toán như sau :

Giải bài 2 trang 119 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3 :

Cùng đọc kỹ đề bài sau đây :  Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A, B và D đến đường chéo AC đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Lời giải:

khoang cach

a) Ta có: ∆ ABC’ = ∆ C’CA = ∆ADC’=∆ AA’C’ =∆ C’B’A = ∆C’D’A (c.c.c)

⇒ Các đường cao hạ từ B; C; D; A’; B’; D’ xuống AC’ bằng nhau

( chú ý: các tam giác trên đều có chung cạnh AC’)

Gọi khoảng cách đó là h.

Ta có: CC’ = a; Giải bài 3 trang 119 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

ΔC’AC vuông tại C, có hai cạnh góc vuông là CA và CC’. Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Giải bài 3 trang 119 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 4  : 

Cùng đi tìm lời giải cho bài toán sau :

khoang cach

Giải bài 4 trang 119 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 4 trang 119 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Chú ý : Chúng ta còn một số bài 5, 6, 7 ,8 .Các bạn hãy dựa trên những kiến thức đã học kết hợp với các bài toán đã có lời giải chi tiết trên đề hoàn thiện nhé!

Lời kết :

Bài học này với vốn kiến thức khá dài và khó ,vậy nên các bạn cần tự ôn tập lại lý thuyết và các công thức để tránh trường hợp bị quên và nhầm lẫn các công thức . Các bạn cũng nên tìm hiểu thêm những cách làm cũng như những bài tập mới để luyện tập thêm . Ngoài ra , bạn cũng có thể tham khảo thêm những bài học khác của Itoan tại : https://www.toppy.vn/

Chúc các bạn học tập tốt !

Xem thêm :

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button