Khoảng cách – Lời giải chi tiết bài tập SGK toán lớp 11
Bài giảng: Khoảng cách được đội ngũ giáo viên của Wikihoctap biên soạn dựa trên chương trình sách giáo khoa toán 11. Đồng thời, chúng tôi cũng bổ xung thêm các bài tập tự luyện và phương pháp giải để nâng cao năng lực giải toán của học sinh. Cùng Wikihoctap chinh phục hình học không gian ngay thôi nào!
Mục tiêu của bài học Khoảng cách
- Biết được thế nào là đường vuông góc chung.
- Hiểu được khái niệm về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Biết tính khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song và giữa hai đường đường chéo nhau dựa vào đường vuông góc chung.
Lý thuyết cần nhớ
Một số phần kiến thức trọng tâm được Wikihoctap biên soạn ngắn gọn, dễ hình dung cho các bạn học sinh.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm O cho trước và đường thẳng a . Trong mặt phẳng (O,a) gọi H là hình chiếu của O trên a . Khi đó độ dài đoạn OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.
Kí hiệu: d(O,a)=OH⇔ OH⊥a; H∈a
Lấy M bất kì thuộc a ta luôn có OH<OM
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt phẳng (a) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (a). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến (a)
Kí hiệu: d(O,(α))=OH⇔ OH⊥(α); H∈(α)
Lấy M≠H bất kì thuộc (α) ta luôn có OH<OM
1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (a) . Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (a) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (a) , kí hiệu là d(a,(a))
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
1. Định nghĩa.
a) Đường thẳng △ cắt hai đường thẳng chéo nhau a,b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
b) Nếu đường vuông góc chung △ cắt hai đường thẳng chéo nhau a,b lần lượt tại M,N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (β) là mặt phẳng chứa b và song song với a, a′ là hình chiếu vuông góc của a lên (β). Vì a//(β)⇒a′//a. Do đó a′ và b cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm này là N. Gọi (α) là mặt phẳng chứa a và a′, △ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (β). Khi đó (β)⊥(α) . Như vậy △ nằm trong (α) và cắt a tại M, cắt b tại N, hơn nữa △ vuông góc với cả a và b . Vậy △ là đường vuông góc chung của a và b.
3. Nhận xét
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa mặt phẳng còn lại.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Ví dụ:
Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bé nhất so với khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy.
Giả sử MN là đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b như hình vẽ, hai điểm bất kì A∈a,B∈b ta cần chứng minh MN≤AB.
Gọi (α) là mặt phẳng qua b và song song với a, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (α) ta có:
MN=AH≤ AB ⇒ MN ≤ AB. (đpcm)
Nếu học lý thuyết quá nhàm chán, các bạn hãy xem hướng dẫn bài học hấp dẫn của trung tâm Toppy qua đoạn video dưới đây nhé!
Giải bài tập SGK Khoảng cách
Để dễ hình dung ra lý thuyết đã học, cô và các bạn sẽ cùng nhau hoàn thành bài tập 1 và 2 trong sách giáo khoa nhé!
Bài 1 trang 119 sgk Hình học 11
a) Sai;
b)Đúng;
c) Đúng;
d) Sai;
e) Sai.
Bài 2 trang 119 sgk hình học 11
a) Gọi E là giao điểm của BC và AH. Khi đó AE ⊥ BC.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.
Vậy ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy tại điểm E.
Mà SC ⊂ (SAC) suy ra BH ⊥ SC.
Mặt khác BK ⊥ SC nên SC ⊥ (BHK).
HK ⊂ (BHK) => SC ⊥ HK (1)
Từ (1) và (2) suy ra HK ⊥ (SBC).
c) Ta có: AE ⊥ BC và AE ⊥ SA.
Vậy AE là đường vuông góc chung của BC và SA.
Bài 3 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
Gọi I là hình chiếu của B trên đường chéo AC’ của hình lập phương.
BCC’B’ là hình vuông cạnh a nên ta có độ dài đường chéo BC’ là 
.
Tam giác ABC’ là tam giác vuông tại B có BC’ = và AB = a.
Độ dài đường cao BI là khoảng cách từ B tới đường thẳng AC’.
Do đó:
Khoảng cách từ các điểm B,C , D, A’,B’ và D’ đến đường chéo AC’ đều bằng nhau vì chúng đều là độ dài đường cao của các tam giác vuông bằng nhau (vì có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau và đều bằng a).
Bài 4 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
a) Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ BH vuông góc với AC tại H.
Khi đó độ dài đoạn BH’ chính là khoảng cách từ B tới mặt phẳng (ACC’A’). Xét tam giác vuông ABC, ta có:
b) Mặt phẳng (ACC’A’) chứa AC’ mà AC’ song song với BB’ nên khoảng cách giữa BB’ và AC’ chính là độ dài đoạn BH.
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa a và mp (α) chứa b đồng thời song song với a.
Bài 5 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
a) Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có:
Mà B’D ⊂ (BB’D’D) nên A’C’ ⊥ B’D. (1)
Mặt khác:
B’D ⊂ (DCB’A’) => B’D ⊥ BC’. (2)
Từ (1) và (2) suy ra B’D ⊥ (A’BC’).
b) Hai mặt phẳng (A’BC’) và (ACD’) cùng vuông góc với B’D (tại G và H) nên chúng song song với nhau.
Khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn HG.
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a.
Hai tam giác GO’B’ và D’DB’ đồng dạng với nhau (g.g) nên ta có:
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC’ và CD’ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (BA’C’) và (ACD’) lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau đó. Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ là:
Lời kết:
Như vậy, bí quyết để tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là ta phải tìm được độ dài của đường vuông góc chung giữa chúng. Nhìn chung đây là một dạng bài tập khá phức tạp đòi hỏi bạn phải luôn kiên trì và trau dồi thêm. Hãy sưu tầm thêm các bài tập liên quan đến nội dung này để có thể chinh phục được hình học không gian trong tương lai nhé!
Xem thêm:
