Đường thẳng và mặt phẳng song song – Bài tập & lời giải toán 11
Ở bài học trước, các bạn đã được tìm hiểu về hai đường thẳng song song. Vậy còn đường thẳng và mặt phẳng song song thì sao? Chúng có những tính chất gì khác so với 2 đường thẳng song song? Cùng tìm hiểu điều đó qua bài giảng do đội ngũ giáo viên của wikihoctap xây dựng sau đây nhé!
Mục tiêu bài học : Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Nắm được các vị trí tương đối của mặt phẳng và đường thẳng.
- Thực hiện được các bài tập về đường thẳng và mặt phẳng song song.
Kiến thức cơ bản của bài học : Đường thẳng và mặt phẳng song song
Dưới đây là toàn bộ kiến thức cần nhớ của bài học : Đường thẳng và mặt phẳng
>> Xem thêm: Phép chiếu song song – chi tiết cách giải bài tập toán 11
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
a. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là:
a ⋂ (P) = ∅ ⇔ a // (P).
b. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là:
a ⋂ (P) = A ⇔ a cắt (P) tại A.
c. Đường thẳng a và mặt phẳng (P) có hai điểm chung, tức là:
Ta có :a ⋂ (P) = {A, B} ⇔ a ∈ (P).
Ta có tính chất như sau :a ⋂ (P) = ∅ ⇔ a // (P).
Ta có tính chất như sau : a ⋂ (P) = A ⇔ a cắt (P)
Ta có tính chất như sau : a ⋂ (P) = {A, B} ⇔ a ∈ (P).
2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng
Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó trong (P) thì a song song với (P).
Tức là, a ∉ (P) thì nếu: a // d ∈ (P) ⇒ a // (P).
3. Tính chất
Định lí 2 được phát biểu như sau : Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với a.
Tức là, nếu 
Hệ quả 1 được phát biểu như sau : Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.
Hệ quả 2 được phát biểu như sau : Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.
Tức là: 
Hệ quả 3 được phát biểu như sau : Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.
Hướng dẫn giải bài tập SGK Toán lớp 11 bài học : Đường thẳng và mặt phẳng song song
Sau đây để luyện tập thêm về kiến thức đã học ở trên , chúng ta sẽ cùng nhau đi làm một số bài tập cơ bản SGK nhé !
Bài 1 : Ta có đề bài như sau :Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song và các mặt phẳng (ADF) và (BCF)
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).
Lời giải:
a) Do các tứ giác ABCD và ABEF là các hình bình hành
=> O là trung điểm của AC và BD
và O’ là trung điểm của AE và BF. (tính chất hình bình hành).
+ ΔBFD có OO’ là đường trung bình nên OO’ // DF
mà DF ⊂ (ADF)
⇒ OO’ // (ADF)
+ ΔAEC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // EC
mà EC ⊂ (BCE)
⇒ Ta có kết luận về bài toán : OO’ // (BCE).
b)
Ta thấy mp(CEF) chính là mp(CEFD).
Gọi I là trung điểm của AB:
+ M là trọng tâm ΔABD
⇒ IM/ ID = 1/3.
+ N là trọng tâm ΔABE
⇒ IN/IE = 1/3.
+ ΔIDE có IM/ID = IN/IE = 1/3
⇒ MN // DE mà ED ⊂ (CEFD)
nên ta có thể kết luận MN // (CEFD) hay MN // (CEF).
Bài 2 :
Bài tập của chúng ta như sau : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?
Lời giải:
a) + (α) // AC
⇒ Giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.
Mà M ∈ (ABC) ∩ (α).
⇒ (ABC) ∩ (α) = MN là đường thẳng qua M, song song với AC (N ∈ BC).
+ Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q ∈ AD).
+ (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P ∈ CD).
+ (α) ∩ (ACD) = QP.
b)Ta có:
Suy ra, tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song với nhau nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Bài 3 :
Đề bài của chúng ta như sau : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?
Lời giải:
+ Ta có: (α) // AB
⇒ giao tuyến (α) và (ABCD) là đường thẳng qua O và song song với AB.
Qua O kẻ MN // AB (M ∈ BC, N ∈ AD)
⇒ (α) ∩ (ABCD) = MN.
+ (α) // SC
⇒ giao tuyến của (α) và (SBC) là đường thẳng qua M và song song với SC.
Kẻ MQ // SC (Q ∈ SB).
+ (α) // AB
⇒ giao tuyến của (α) và (SAB) là đường thẳng qua Q và song song với AB.
Từ Q kẻ QP // AB (P ∈ SA).
⇒ (α) ∩ (SAD) = PN.
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) là tứ giác MNPQ.
Ta có: PQ// AB và NM // AB
=> PQ // NM
Do đó, tứ giác MNPQ là hình thang.
Lời kết :
Kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng song song sẽ không khó nếu bạn chú ý vào bài giảng và chăm chỉ giải bài tập. Hãy luôn kiên trì trong việc học tập để bước lên tầm cao mới nhé! Nếu đôi khi bạn gặp khó khăn trong học tập thì cũng đừng lo nhé! Bởi đã có wikihoctap luôn đồng hành cùng bạn.
Xem thêm :
- Hai đường thẳng song song
- Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Từ vuông góc đến song song
