Nguyên hàm – Cùng Wikihoctap học thật tốt giải tích 12

Rate this post

Trước khi vội vàng kết luận rằng nguyên hàm là một dạng toán khó nhằn, bạn hãy theo dõi bài giảng sau đây của wikihoctap nhé! Bài giảng do đội ngũ giáo viên tại Wikihoctap thực hiện biên soạn hứa hẹn sẽ mang đến cho bạn các phương pháp học tập thú vị và hiệu quả nhất. Biết đâu bạn lại cảm thấy yêu thích phần kiến thức về nguyên hàm này đấy!

Mục tiêu của bài học Nguyên hàm

Kiến thức bài học hôm nay có đôi chút liên quan đến những bài học trước, các bạn cố gắng học tốt những bài học trước và đặt ra mục tiêu cụ thể cho bài học hôm nay nhé!

Nắm được định nghĩa về nguyên hàm của hàm số trên K.
Nắm được các tính chất của nguyên hàm.
Biết cách tính nguyên hàm của hàm số đơn giản và một số hàm số phức tạp

Lý thuyết bài học Nguyên hàm

Dưới đây là một số phần kiến thức quan trọng cơ bản cô đã biên soạn cho bài học hôm nay, các bạn nhớ học bài kỹ trước khi làm bài tập nhé!

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm

a. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈K .

Ví dụ

Hàm số F(x)=x³ là một nguyên hàm của hàm số f(x)=3x² trên khoảng (−∞;+∞)

vì F′(x)=(x³)′=3x²=f(x),∀x∈(−∞;+∞) .

b. Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

c. Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C, với C là một hằng số.

Kí hiệu: ∫f(x)dx=F(x)+C.

Chú ý:

Biểu thức f(x) chính là vi phân của của nguyên hàm F(x) của f(x) , vì dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx .

Ví dụ:

a) Với x∈(−∞;+∞),∫2xdx=x²+C

b) với t∈(−∞;+∞),∫costdt=sint+C

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1. ∫f′(x)dx=f(x)+C.

Tính chất 2. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

Tính chất 3. ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx .

Ví dụ

a) ∫(sinx)′dx=∫cosxdx=sinx+C

b) ∫3e^xdx=3∫e^xdx=3e^x+C

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

II. Các phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến

a) Định lí 1: Nếu ∫f(u)du=F(u)+C với u=u(x) có đạo hàm liên tục thì ∫f(u(x))u′(x)dx=F(u(x))

b) Hệ quả: Nếu ∫f(u)du=F(u)+C thì ∫f(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+C,(a≠0)

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

a. Định lí 2

Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx

b. Chú ý

Vì v′(x)dx=dv,u′(x)dx=du nên đẳng thức trên còn được viết ở dang ∫udv=uv−∫vdu

Sẽ dễ dàng hơn khi tiếp thu kiến thức mới nếu bạn kết học học lý thuyết và nghe giảng qua video dưới đây!

Hướng dẫn giải bài tập SGK: Nguyên hàm

Để nắm chắc lý thuyết, cô và các bạn cùng nhau giải các bài tập trong sách giáo khoa nhé!

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93:

Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:

a) f(x) = 3x² với x ∈ (-∞; +∞);

b) f(x) = 1/(cos⁡x)² với x ∈ ((-π)/2; π/2).

Lời giải:

F(x) = x³ vì (x³)’ = 3x²

F(x) = tanx vì (tanx)’ = 1/(cos⁡x)² .

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93:

Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.

Lời giải:

(x) = x² + 2 do (F(x))’=( x² + 2)’ = 2x + 0 = 2x. Tổng quát F(x) = x² + c với c là số thực.

F(x) = lnx + 100, do (F(x))’ = 1/x , x ∈ (0,+∞). Tổng quát F(x)= lnx + c, x ∈ (0,+∞) và với c là số thực.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93:

Hãy chứng minh Định lý 1.

Lời giải:

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có:

(G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).

Lời giải:

Ta có [∫f(x) ± ∫g(x)]’= [∫f(x) ]’± [∫g(x) ]’ = f(x)±g(x).

Vậy ∫f(x) ± ∫g(x) = ∫[f(x)±g(x)].

Lời giải:

f’(x)	f(x) + C
0	C
αx^{α -1}	x^α + C
1/x (x ≠ 0)	ln⁡(x) + C nếu x > 0, ln⁡(-x) + C nếu x < 0.
e^x	e^x + C
a^xlna (a > 1, a ≠ 0)	a^x + C
Cosx	sinx + C
– sinx	cosx + C
1/(cosx)²	tanx + C
(-1)/(sinx)²	cotx + C

a) Cho ∫(x – 1)¹⁰ dx. Đặt u = x – 1, hãy viết (x – 1)¹⁰dx theo u và du.

b)∫ . Đặt x = e^t, hãy viết theo t và dt.

a) Ta có (x – 1)¹⁰dx = u¹⁰ du (do du = d(x – 1) = dx.

b) Ta có dx = d(e^t) = e^t dt, do đó

Hãy tính ∫ (xcosx)’ dx và ∫ cosxdx. Từ đó tính ∫ xsinxdx.

Lời giải:

Ta có ∫ (xcosx)’dx = (xcosx) và ∫ cosxdx = sinx. Từ đó

∫ xsinxdx = – ∫ [(xcosx)’ – cosx]dx = -∫ (xcosx)’dx + ∫ cosxdx = – xcosx + sinx + C.

∫ P(x)e^x dx	∫ P(x)cosxdx	∫ P(x)lnxdx
P(x)
e^xdx

Lời giải:

∫ P(x)e^x dx	∫ P(x)cosxdx	∫ P(x)lnxdx
P(x)	P(x)	P(x)lnx
e^xdx	cosxdx	dx

Bài 1 (trang 100 SGK Giải tích 12):

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

Lời giải:

a) Ta có: (-e^-x)’ = -e^-x.(-x)’ = e^-x

⇒ -e^-x là một nguyên hàm của hàm số e^-x

b) (sin²x)’ = 2.sinx.(sinx)’ = 2.sinx.cosx = sin2x

⇒ sin²x là một nguyên hàm của hàm số .

là một nguyên hàm của hàm số

Bài 2 (trang 100 SGK Giải tích 12):

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

Bài 3 (trang 101 SGK Giải tích 12)

Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

Lời giải:

a) Đặt u = 1 – x ⇒ u’(x) = -1⇒ du = -dx

Thay u = 1 – x vào kết quả ta được :

b) Đặt u = 1 + x² ⇒ u’ = 2x ⇒ du = 2x.dx

Thay lại u = 1+ x² vào kết quả ta được:

c) Đặt u = cosx ⇒ u’ = -sinx ⇒ du = -sinx.dx

Thay lại u = cos x vào kết quả ta được:

d) Ta có:

Bài 4 (trang 101 SGK Giải tích 12):

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

Lời giải:

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

b) Đặt

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Lời kết:

Kiến thức về nguyên hàm thật đa dạng và rộng lớn phải không nào? Để chinh phục được đỉnh cao của giải tích, hãy theo dõi đủ tất cả các bài giảng của wikihoctap để nắm chắc toàn bộ kiến thức cần thiết nhé! Wikihoctap luôn sẵn sàng đồng hành cùng các em trên con đường bước tới thành công.

Xem thêm các bài viết có liên quan:

Nguyên hàm – Cùng Wikihoctap học thật tốt giải tích 12

Mục tiêu của bài học Nguyên hàm