Lớp 12

Nguyên hàm – Cùng Wikihoctap học thật tốt giải tích 12

Rate this post

Trước khi vội vàng kết luận rằng nguyên hàm là một dạng toán khó nhằn, bạn hãy theo dõi bài giảng sau đây của wikihoctap nhé! Bài giảng do đội ngũ giáo viên tại Wikihoctap thực hiện biên soạn hứa hẹn sẽ mang đến cho bạn các phương pháp học tập thú vị và hiệu quả nhất. Biết đâu bạn lại cảm thấy yêu thích phần kiến thức về nguyên hàm này đấy!

Mục tiêu của bài học Nguyên hàm

Kiến thức bài học hôm nay có đôi chút liên quan đến những bài học trước, các bạn cố gắng học tốt những bài học trước và đặt ra mục tiêu cụ thể cho bài học hôm nay nhé! 

  • Nắm được định nghĩa về nguyên hàm của hàm số trên K.
  • Nắm được các tính chất của nguyên hàm.
  • Biết cách tính nguyên hàm của hàm số đơn giản và một số hàm số phức tạp

Lý thuyết bài học Nguyên hàm

Dưới đây là một số phần kiến thức quan trọng cơ bản cô đã biên soạn cho bài học hôm nay, các bạn nhớ học bài kỹ trước khi làm bài tập nhé!

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm

a. Định nghĩa

Cho hàm số f(x)  xác định trên K.

Hàm số F(x)  được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F(x)=f(x)  với mọi xK .

Ví dụ 

Hàm số F(x)=x3  là một nguyên hàm của hàm số f(x)=3x2  trên khoảng (;+)

vì F(x)=(x3)=3x2=f(x),x(;+) .

b. Định lí 1. 

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)  trên K  thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C  cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

c. Định lí 2. 

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)  trên K  thì mọi nguyên hàm của  f(x)  trên K đều có dạng F(x)+C, với C là một hằng số.

Kí hiệu: f(x)dx=F(x)+C.

Chú ý:

Biểu thức f(x)  chính là vi phân của của nguyên hàm F(x)  của f(x) , vì dF(x)=F(x)dx=f(x)dx .

Ví dụ: 

a) Với x(;+),2xdx=x2+C

b) với t(;+),costdt=sint+C

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1. f(x)dx=f(x)+C.

Tính chất 2. kf(x)dx=kf(x)dx (với k là hằng số khác 0)

Tính chất 3. [f(x)±g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx .

Ví dụ

a) (sinx)dx=cosxdx=sinx+C

b) 3exdx=3exdx=3ex+C

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3: Mọi hàm số f(x)  liên tục trên K  đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

nguyên hàm
Nguyên hàm – Cùng Wikihoctap học thật tốt giải tích 12

II. Các phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến

a) Định lí 1: Nếu f(u)du=F(u)+C với u=u(x) có đạo hàm liên tục thì f(u(x))u(x)dx=F(u(x))

b) Hệ quả: Nếu f(u)du=F(u)+C thì f(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+C,(a0)

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

a. Định lí 2

Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì u(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v(x)dx

b. Chú ý

Vì v(x)dx=dv,u(x)dx=du nên đẳng thức trên còn được viết ở dang udv=uvvdu

Sẽ dễ dàng hơn khi tiếp thu kiến thức mới nếu bạn kết học học lý thuyết và nghe giảng qua video dưới đây!

Hướng dẫn giải bài tập SGK: Nguyên hàm

Để nắm chắc lý thuyết, cô và các bạn cùng nhau giải các bài tập trong sách giáo khoa nhé!

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93: 

Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:

a) f(x) = 3x2 với x ∈ (-∞; +∞);

b) f(x) = 1/(cos⁡x)2 với x ∈ ((-π)/2; π/2).

Lời giải:

F(x) = x3 vì (x3)’ = 3x2

F(x) = tanx vì (tanx)’ = 1/(cos⁡x)2 .

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93: 

Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.

Lời giải:

(x) = x2 + 2 do (F(x))’=( x2 + 2)’ = 2x + 0 = 2x. Tổng quát F(x) = x2 + c với c là số thực.

F(x) = lnx + 100, do (F(x))’ = 1/x , x ∈ (0,+∞). Tổng quát F(x)= lnx + c, x ∈ (0,+∞) và với c là số thực.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93: 

Hãy chứng minh Định lý 1.

Lời giải:

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.

Ta có:

(G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)

Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).

Lời giải:

Ta có [∫f(x) ± ∫g(x)]’= [∫f(x) ]’± [∫g(x) ]’ = f(x)±g(x).

Vậy ∫f(x) ± ∫g(x) = ∫[f(x)±g(x)].

Lời giải:

f’(x) f(x) + C
0 C
αxα -1 xα + C
1/x (x ≠ 0) ln⁡(x) + C nếu x > 0, ln⁡(-x) + C nếu x < 0.
ex ex + C
axlna (a > 1, a ≠ 0) ax + C
Cosx sinx + C
– sinx cosx + C
1/(cosx)2 tanx + C
(-1)/(sinx)2 cotx + C

a) Cho ∫(x – 1)10 dx. Đặt u = x – 1, hãy viết (x – 1)10dx theo u và du.

b)∫Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 Tra Loi Cau Hoi Toan 12 Giai Tich Bai 1 Trang 98 . Đặt x = et, hãy viết Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 Tra Loi Cau Hoi Toan 12 Giai Tich Bai 1 Trang 98 theo t và dt.

a) Ta có (x – 1)10dx = u10 du (do du = d(x – 1) = dx.

b) Ta có dx = d(et) = et dt, do đó Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 Tra Loi Cau Hoi Toan 12 Giai Tich Bai 1 Trang 98 1

Hãy tính ∫ (xcosx)’ dx và ∫ cosxdx. Từ đó tính ∫ xsinxdx.

Lời giải:

Ta có ∫ (xcosx)’dx = (xcosx) và ∫ cosxdx = sinx. Từ đó

∫ xsinxdx = – ∫ [(xcosx)’ – cosx]dx = -∫ (xcosx)’dx + ∫ cosxdx = – xcosx + sinx + C.

∫ P(x)ex dx ∫ P(x)cosxdx ∫ P(x)lnxdx
P(x)
exdx

Lời giải:

∫ P(x)ex dx ∫ P(x)cosxdx ∫ P(x)lnxdx
P(x) P(x) P(x)lnx
exdx cosxdx dx

Bài 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): 

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

nguyên hàm

Lời giải:

a) Ta có: (-e-x)’ = -e-x.(-x)’ = e-x

⇒ -e-x là một nguyên hàm của hàm số e-x

nguyên hàm

b) (sin2x)’ = 2.sinx.(sinx)’ = 2.sinx.cosx = sin2x

⇒ sin2x là một nguyên hàm của hàm số .

Giải bài 1 trang 100 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 1 Trang 100 Sgk Giai Tich 12 4

nguyên hàm

Giải bài 1 trang 100 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 1 Trang 100 Sgk Giai Tich 12 6 là một nguyên hàm của hàm số Giải bài 1 trang 100 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 1 Trang 100 Sgk Giai Tich 12 7

nguyên hàm

Bài 2 (trang 100 SGK Giải tích 12): 

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau:

nguyên hàm

Lời giải:

nguyên hàm

nguyên hàm

nguyên hàm

nguyên hàm

Giải bài 2 trang 100 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 2 Trang 100 Sgk Giai Tich 12 8

Bài 3 (trang 101 SGK Giải tích 12)

Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

nguyên hàm

Lời giải:

a) Đặt u = 1 – x ⇒ u’(x) = -1⇒ du = -dx

Giải bài 3 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 2

Thay u = 1 – x vào kết quả ta được :

nguyên hàm

b) Đặt u = 1 + x2 ⇒ u’ = 2x ⇒ du = 2x.dx

nguyên hàm

Thay lại u = 1+ x2 vào kết quả ta được:

Giải bài 3 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 5

c) Đặt u = cosx ⇒ u’ = -sinx ⇒ du = -sinx.dx

Giải bài 3 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 6

Thay lại u = cos x vào kết quả ta được:

Giải bài 3 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 11

d) Ta có:

Giải bài 3 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 3 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 7

Bài 4 (trang 101 SGK Giải tích 12): 

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

nguyên hàm

Lời giải:

Giải bài 4 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 4 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 4

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

nguyên hàm

b) Đặt

Giải bài 4 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 4 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 6

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Giải bài 4 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 4 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 7

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Giải bài 4 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 4 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 8

Giải bài 4 trang 101 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 Bai 4 Trang 101 Sgk Giai Tich 12 9

nguyên hàm

Lời kết:

Kiến thức về nguyên hàm thật đa dạng và rộng lớn phải không nào? Để chinh phục được đỉnh cao của giải tích, hãy theo dõi đủ tất cả các bài giảng của wikihoctap để nắm chắc toàn bộ kiến thức cần thiết nhé! Wikihoctap luôn sẵn sàng đồng hành cùng các em trên con đường bước tới thành công.

Xem thêm các bài viết có liên quan:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button