Lớp 11

Nhị thức Newton và những điều bạn cần biết – Đại số 11

5/5 - (6 bình chọn)

Chắc hẳn, tên tuổi của nhà toán học Newton đã không còn xa lạ đối với các em. Newton là một nhà khoa học đại tài của nhân loại. Nhị thức Newton là một trong những khám phá vĩ đại nhất của ông. Cùng wikihoctap giải mã nhị thức Newton của nhà toán học lừng danh này nhé!

Các phần kiến thức trong bài

  • Nắm được công thức, hệ quả của nhị thức Newton.
  • Giải được các bài tập trong sách giáo khoa và một số bài tập tự luyện.

>> Xem thêm: Phương pháp quy nạp toán học – Học tốt đại số lớp 11

Tổng hợp lý thuyết về Nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton

Nhị thức Newton
Nhị thức Newton và những điều bạn cần biết – Đại số 11

c. 💡Chú ý

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1)

  • Số các hạng tử là (n+1).
  • Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0=b0=1
  • Nhị thức Newton

Tam giác Pascan

Trên đây ta thấy muốn khai triển (a+b)^n  thành đa thức, ta cần biết n+1 số Nhị thức Newtoncó mặt trong công thức nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính được bằng cách sử dụng bảng số sau.

CỤC NHỎ XINH Bảng số này do nhà toán học Pháp Pa-xcan thiết lập vào năm 1653 và được người ta gọi là tam giác Pa-xcan.

CỤC NHỎ XINH Tam giác Pa-xcan được thiết lập theo quy luật sau:

Nhị thức Newton

  • Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.
  • Nếu biết hàng thứ  n(n1) thì hàng thứ n+1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ   rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.

💡 Chú ý:

Nhị thức NewtonGiải bài tập SGK Toán 11 Nhị thức Newton

Bài 1 (trang 57 SGK Đại số 11): Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu – tơn:

Giải bài 1 trang 57 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Nhị thức Newton

Nhị thức Newton

Nhị thức Newton

Bài 2 (trang 58 SGK Đại số 11): Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức : Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát của khai triển Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 là:

Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ x3 ứng với 6 – 3k = 3 ⇔ k = 1.

Vậy hệ số của x3 là: Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3 (trang 58 SGK Đại số 11): Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 – 3x)n là 90. Tìm n.

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát của khai triển (1 – 3x)n là:

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Số hạng chứa x2 ứng với k = 2.

Hệ số của x2 là 90 nên ta có:

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy n = 5.

Bài 4 (trang 58 SGK Đại số 11): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát trong khai triển Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 là:

Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Số hạng không chứa x tương ứng với 24 – 4k = 0 ⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là: Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 5 (trang 58 SGK Đại số 11): Tìm khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Lời giải:

Giải bài 5 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Đặt S là tổng các hệ số của đa thức khai triển.

Ta có:

Giải bài 5 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy tổng các hệ số của đa thức khai triển bằng -1.

Bài 6 (trang 58 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng:

a) 1110 – 1 chia hết cho 100

b) 101100 – 1 chia hết cho 10.000

c) Giải bài 6 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 là một số nguyên

Lời giải:

a) Ta có; 1110 = (10+1)10 ( khai triển nhị thức Niu- tơn )

Nhị thức Newton

Do đó, 1110 -1 chia hết cho 100

b) Ta có: 10110 = (100+1)10 ( khai triển nhị thức Niu- tơn )

Nhị thức Newton

Do đó, 10110 -1 chia hết cho 10000

Nhị thức Newton

Nhị thức Newton

Nhị thức Newton

Bài tập luyện tập Nhị thức Newton

Các bài tập do Wikihoctap biên soạn giúp các em luyện tập tư duy làm bài trắc nghiệm, hiểu và ghi nhớ kiến thức tốt hơn!

Phần câu hỏi

Câu 1: Trong khai triển (2ab)^5 , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

A. -80

B. 80

C. -10

D. 10

Câu 2: 

Nhị thức Newton

Câu 3: Nhị thức Newton

A. 60

B. 80

C. 100

D. 160

Câu 4: Trong khai triển (2a1)^6 , tổng ba số hạng đầu là:

A. 2a^66a^5+15a^4 .

B. 2a^615a^5+30a^4.

C. 64a^6192a^5+480a^4

D. 64a^6192a^5+240a^4.

Phần đáp án

1.B    2.D      3.A      4.D

Lời kết

Nhị thức Newton chính là chìa khóa để các em có thể học tốt nội dung về tổ hợp – xác suất trong chương trình đại số 11 này. Những kiến thức lý thuyết trên tuy có phần trừu tượng nhưng lại được áp dụng rất nhiều vào thực tiễn cuộc sống đấy. Chúc các em học tốt đại số 11 cùng wikihoctap nhé!

>> Xem thêm:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button