Lớp 10

Bạn đã biết cách lập phương trình đường Elip này chưa?

5/5 - (6 bình chọn)

Bài học hôm nay mà Wikihoctap mang đến cho các em sẽ vô cùng thú vị với sự xuất hiện của phương trình đường Elip. Vậy loại phương trình này có gì đặc biệt? Cách lập phương trình đường Elip như thế nào? Cùng tìm hiểu trong bài giảng này của Wikhoctap nhé!

Mục tiêu bài học

  • Nắm được các khái niệm về hình Elip, tiêu điểm, tiêu cự.
  • Hiểu được mối quan hệ giữa đường Elip và đường tròn.
  • Viết được phương trình đường Elip chính xác.

Kiến thức cần nhớ Phương trình đường Elip

  • Hiểu khái niệm và cấu trúc của phương trình đường Elip.
  • Biết cách viết và đọc phương trình đường Elip theo dạng tổng quát: (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1 hoặc (x-h)^2/b^2 + (y-k)^2/a^2 = 1, với a và b là bán kính lớn và bán kính nhỏ.
  • Nắm vững các thông số trong phương trình: tâm (h, k), bán kính lớn a và bán kính nhỏ b.
  • Biết cách xác định hướng, hình dạng và chiều dài của đường Elip.
  • Áp dụng kiến thức đã học để giải các bài toán liên quan đến phương trình đường Elip, ví dụ như tìm tọa độ điểm thuộc đường Elip, tìm tiếp tuyến hay tiếp xúc với đường Elip..

>>Xem thêm: Phương trình đường tròn – Bài tập và lời giải hình học lớp 10

Lý thuyết bài học Phương trình đường Elip

Định nghĩa

Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1.F2=2c(c>0). Tâp hơp các điểm M thỏa mãn MF1+MF2=2a (a không đổi và a>c>0  ) là môt đường Elip.

  • F1,F2 là hai tiêu điểm.
  •  F1F2=2c là tiêu cư của Elip.
phương trình đường Elip
Hướng dẫn viết phương trình đường tròn hình học 10

Phương trình chính tắc của Elip

phương trình đường Elip

Cho Elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M+F2M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1=(c;0) và F2=(c;0). Khi đó phương trình chính tắc của elip là:
(E):x2/a2+y2/b2=1
Trong đó a^2=b^2+c^2.

Hình dạng của Elip

  • Elip có các trục đối xứng là Ox,Oy và có tâm đối xứng là gốc O.
  • Elip cắt Ox tại hai điểm A1(a;0),A2(a;0), cắt Oy tại 2 điểmB1(0;b),B2(0;b). Các điểm A1,A2,B1,B2, gọi là các đỉnh của elip.
  • Đoạn thẳng A1A2  gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip.

phương trình đường Elip

Liên hệ giữa đường tròn và đường Elip

  • Từ hệ thức b2=a2c2 ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn(C) có phương trình

               x2+y2=a2

Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn ta xét điểm M(x;y) sao cho

{x=xy=bay với (0<b<a)
Thì tâp hơp điểm  M(x;y) có tọa độ thỏa mãn phương trình x2a2+y2b2=1  là một elip
(E)  Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

phương trình đường Elip

Giải bài tập SGK trang 88 Phương trình đường Elip

Bài 1 (trang 88 SGK Hình học 10):

Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau:

Giải bài 1 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Lời giải

a) Giải bài 1 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10 có a = 5, b = 3 ⇒ c = √(a2 – b2) = 4.

Tọa độ các đỉnh là A1 = (–5 ; 0) ; A2 = (5 ; 0) ; B1 = (0 ; –3) ; B2 = (0 ; 3)

Tọa độ hai tiêu điểm là F1 = (–4 ; 0) và F2 = (4 ; 0)

Độ dài trục lớn bằng A1A2 = 10

Độ dài trục nhỏ bằng B1B2 = 6.

Giải bài 1 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Giải bài 1 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Giải bài 1 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Tọa độ các đỉnh là : A1 = (–3 ; 0) ; A2 = (3 ; 0) ; B1 = (0 ; –2) ; B2 = (0 ; 2)

Tọa độ hai tiêu điểm là F1 = (–√5 ; 0) và F2 = (√5 ; 0)

Độ dài trục lớn là A1A2 = 2a = 6

Độ dài trục nhỏ là B1B2 = 2b = 4.

Bài 2 (trang 88 SGK Hình học 10):

Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a, Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6.

b, Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Lời giải

a) Độ dài trục lớn bằng 8 ⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4

Độ dài trục nhỏ bằng 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: Giải bài 2 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

b) Độ dài trục lớn bằng 10 ⇒ 2a = 10 ⇒ a = 5

Tiêu cự bằng 6 ⇒ 2c = 6 ⇒ c = 3

⇒ b2 = a2 – c2 = 16 ⇒ b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: Giải bài 2 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Bài 3 (trang 88 SGK Hình học 10):

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua các điểm M(0; 3) và Giải bài 3 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10 ;

b) Elip có một tiêu điểm là Giải bài 3 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10 và điểm Giải bài 3 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10 nằm trên elip.

Lời giải

Gọi Elip cần tìm có dạng : (E) : Giải bài 3 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Giải bài 3 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Vậy phương trình chính tắc của elip: Giải bài 3 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

b) Giải bài 3 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10 là tiêu điểm của (E) ⇒ a2 – b2 = 3 ⇒ a2 = b+ 3

Giải bài 3 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Phương trình chính tắc của Elip là : Giải bài 3 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Bài 4 (trang 88 SGK Hình học 10):

Để một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ hình elip trên tấm ván ép như hình dưới. Hỏi phải ghìm hai cái đinh cách mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

phương trình đường Elip

Lời giải

Giả sử Elip có phương trình Giải bài 4 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Độ dài trục lớn bằng 80cm ⇒ 2a = 80cm ⇒ a =40cm

Độ dài trục nhỏ bằng 40cm ⇒ 2b = 40cm ⇒ b = 20cm

Khi đó Giải bài 4 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10 ⇒ F1F2 = 2c = 40√3 cm

Khoảng cách từ vị trí hai chiếc đinh F1, F2 đến hai mép là:

Giải bài 4 trang 88 SGK hình học 10 | Giải toán lớp 10

Độ dài vòng dây cuốn: MF1 + MF2 + F1F2 = 2a + 2c = 80 + 40√3 ≈ 149,3cm.

Bài 5 (trang 88 SGK Hình học 10):

Cho hai đường tròn C1(F1,R1) và C2(F2,R2) . C1 nằm trong C2 và F1 ≠F2 . Đường tròn C thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C1 và tiếp xúc trong với C2. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn C di động trên một elip.

phương trình đường Elip

Lời giải

Gọi C(M ; R).

C tiếp xúc ngoài với C1 ⇒ MF1 = R + R1

C tiếp xúc trong với C2 ⇒ MF2 = R2 – R

⇒ MF1 + MF2 = R + R1 + R2 – R = R1 + R2 = const.

Điểm M có tổng các khoảng cách MF1 + MF2 đến hai điểm cố định F1 và F2 bằng một độ dài không đổi R1 + R2.

Vậy M nằm trên elip có hai tiêu điểm F1, F2 và có độ dài trục lớn bằng R1 + R2.

Bài tập tự luyện Phương trình đường Elip

Các bài tập tự luyện do Wikihoctap biên soạn giúp các em ôn tập cả lý thuyết lẫn bài tập:

Phần câu hỏi

Câu 1: Khái niệm nào sau đây định nghĩa về elip?

A. Cho điểm F cố định và một đường thẳng Δ cố định không đi qua F . Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến Δ) .

B. Cho F1,F2 cố định với F1F2=2c,(c>0) . Elip (E) là tập hợp điểm M sao cho |MF1MF2|=2a với a là một số không đổi và a < c .

C. Cho F1,F2 cố định với F1F2=2c,(c>0) và một độ dài 2a không đổi (a>c) . Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho M(P)MF1+MF2=2a.

D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Elip.

Câu 2: Cho Elip (E) có phương trình chính tắc là x^2/ a^2+y^2/ b^2=1 , với a>b>0. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?

A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là A1(a;0),A2(a;0) .

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là B1(0;b),B2(0;b), .

C. Với c^2=a^2b^2(c>0) , độ dài tiêu cự là 2c .

D. Với c^2=a^2b^2(c>0) , tâm sai của elip là e=a/c .

Câu 3: Đường Elip (E)x^2/16 + y^2/7=1 có tiêu cự bằng bao nhiêu?

A. 3

B. 6

C. 9/16

D. 6/7

Câu 4: Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng 1/3 và trục lớn bằng 6 .

A. x^2/6+y^2/9=1

B. x^2/9+y^2/8=1

C. x^2/16+y^2/9=1

D. D. x^2/5+y^2/3=1

Phần đáp án

1.C      2.D     3.D     4.B

Lời kết

Bài học: Phương trình đường Elip đã kết thúc chương trình hình học lớp 10 tại đây. Hy vọng các em sẽ đạt được những thành quả xứng đáng với những nỗ lực và cố gắng của mình. Cảm ơn các em đã luôn đồng hành và ủng hộ wikihoctap trong suốt thời gian qua. Tạm biệt và hẹn gặp lại các em trong chương trình lớp 11 nhé!

>>Xem thêm:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button