Phương trình đường thẳng trong không gian hình học lớp 12
Bên cạnh phương trình mặt phẳng, chúng ta cũng hoàn toàn có thể lập được phương trình đường thẳng trong không gian ba chiều. Bài giảng ngày hôm nay của Wikihoctap sẽ mang đến cho các bạn một cách làm đơn giản, dễ hiểu nhất để lập được một phương trình đường thẳng. Giúp bạn chinh phục nội dung hình học 12 dễ dàng hơn bao giờ hết.
Bài giảng bao gồm 3 phần
- Lập được phương trình tham số của đường thẳng.
- Biết cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng dựa vào phương trình tham số.
Lý thuyết cần nắm Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình tham số của đường thẳng
1. Định lí
Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) nằm trên đường thẳng △ đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ u→=(a1;a2;a3) làm vectơ chỉ phương là tồn tại một số thực t sao cho:
2. Định nghĩa
Phương trình tham số của đường thẳng △ đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vec tơ chỉ phương u→=(a1;a2;a3) là phương trình có dạng:
Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng △ .
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng △ đi qua điểm M(1;−2;4) và có vectơ chỉ phương u→=(2;3;−1) .
Giải
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(−1;0;2) và B(−3;2;1).
Giải
Đường thẳng đi qua hai điểm A(−1;0;2) và B(−3;2;1) có vectơ chỉ phương là: u→=AB−→−=(−2;2;−1).
Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d,d′
1. Điều kiện để hai đường thẳng song song
d song song d′ khi và chỉ khi:
2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
d cắt d′ ⇔ hệ phương trình ẩn t,t′
3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau
4. Các bước xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian khi biết phương trình của chúng
Bước 1 : Xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.
Bước 2 : Kiểm tra điều kiện hai vectơ đó cùng phương với nhau hay không ?
Nếu hai vectơ chỉ phương cùng phương với nhau thì chuyển sang bước 3.
Nếu hai vectơ chỉ phương không cùng phương thì chuyển sang bước 4.
Bước 3 : Lấy điểm M thuộc đường thẳng d, kiểm tra M thuộc đường thẳng d′ hay không ?
Nếu M không thuộc d′ thì kết luận , ngược lại thì kết luận
Bước 4 : Giải hệ phương trình tạo bởi phương trình của hai đường thẳng
Nếu hệ có 1 nghiệm thì kết luận d cắt d′, nếu hệ vô nghiệm kết luận d và d′ chéo nhau.
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
– Nếu (I) vô nghiệm thì d//(α)
– Nếu (I) có một nghiệm thì d cắt mp (α)
– Nếu (I) có vô số nghiệm thì d⊂(α)
Ví dụ: Xác định vị trí tương đối giữa mặt phẳng (α) x+y+z−3=0 với đường thẳng d trong các trường hợp sau:
Giải
a) Gọi M(x;y;x) là điểm chung của đường thẳng d và mp (α), tọa độ điểm M là
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên d cắt mp (α) tại điểm M(1;1;1)
Giải bài tập SGK Phương trình đường thẳng trong không gian
Bài 1
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) d đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương 
b) d đi qua A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – z + 5 = 0.
c) d đi qua B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng 
d) d đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4).
Lời giải:
Bài 2
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
Lời giải:
+ t = 0 ⇒ điểm M(2; -3; 1) ∈ d
+ t = 1 ⇒ điểm N(3; -1; 4) ∈ d.
a) Hình chiếu của M trên (Oxy) là M’(2 ; -3 ; 0).
Hình chiếu của N trên (Oxy) là : N’(3 ; -1 ; 0).
⇒ Hình chiếu của d trên (Oxy) chính là đường thẳng d’ đi qua M’ và N’.
⇒ d’ nhận 
là 1 vtcp.
b) Hình chiếu của M trên (Oyz) là : M1(0 ; -3 ; 1)
Hình chiếu của N trên (Oyz) là : N1(0 ; -1 ; 4)
⇒ Hình chiếu của d trên (Oyz) chính là đường thẳng d1 đi qua M1 và N1
⇒ d1 nhận 
là 1 vtcp
Bài 3
Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
Lời giải:
Bài 4
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
Lời giải:
Bài 5
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
Lời giải:
a) Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α ) là nghiệm hệ phương trình:
Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:
3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0
⇔ 36 + 12t + 45 + 15t – 1 – t – 2 = 0
⇔ 26t + 78 = 0
⇔ t = -3
Vậy (d) cắt (α) tại một điểm M(0 ; 0 ; -2).
b) Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α ) là nghiệm hệ phương trình:
Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:
1 + t + 3(2 – t) + 1 + 2t + 1 = 0
⇔ 0t + 9 = 0
Phương trình vô nghiệm
⇒ (d) không cắt (α).
c) Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và mp(α) là nghiệm hệ phương trình:
Thay (1); (2); (3) vào (4) ta được:
1 + t + 1 + 2t + 2 – 3t – 4 = 0
⇔ 0t = 0
Phương trình có vô số nghiệm
⇒ (d) ⊂ (α)
hay (d) cắt (α) tại vô số điểm.
Bài 6
Tính khoảng cách giữa đường thẳng …
Lời giải:
Xét phương trình:
2(-3 + 2t) – 2(-1 + 3t) + (-1 + 2t) + 3 = 0
⇔ 0t – 2 = 0
Phương trình vô nghiệm
⇒ (Δ) // (α).
Điểm A(-3; -1; -1) ∈ (Δ).
Bài 7
Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng …
Lời giải:
Bài 8
Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0
a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).
b)Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α).
c)Tính khoảng cách từ M đến mp(α).
Lời giải:
a) Đường thẳng MH vuông góc với (α)
⇒ MH nhận vtpt của (α) 
là 1 vtcp
Mà M(1; 4; 2) ∈ MH
⇒ Pt đường thẳng MH: 
⇒ H(1 + t; 4 + t; 2 + t).
H ∈ (α) ⇒ 1 + t + 4 + t + 2 + t – 1 = 0 ⇔ t = -2.
⇒ H(-1; 2; 0).
b) M’ đối xứng với M qua (α)
⇒ H là trung điểm MM’
⇒ M’(-3; 0; -2).
c) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) là:
Bài 9
Cho hai đường thẳng d:
Lời giải:
Bài 10
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).
Lời giải:
Bài tập tự luyện Phương trình đường thẳng trong không gian
Làm các bài tập tự luyện cùng wikihoctap sẽ gúp các em làm quen với các bài trắc nghệm theo từng bài học!
Phần câu hỏi
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d🙁x−2)/3=(y+5)/4=(z−2)/−1. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?
A. u2→=(3;4;−1)
B. u1→=(2;−5;−2)
C. u3→=(2;5;−2)
D. u3→=(3;4;1)
Câu 2:
Câu 3:
Phần đáp án
1.A 2.C 3.D 4.B
Lời kết
Như vậy, việc lập phương trình đường thẳng trong không gian không hề khó giống như bạn tưởng tưởng đúng không nào? Nếu đã thành thạo các dạng bài tập cơ bản, hãy khám phá thêm các bài tập ở mức độ nâng cao tại website wikihoctap nhé! Ngại gì mà không nâng cao năng lực của bản thân mình đúng không nào các bạn?
>>Xem thêm:
