Phương trình lượng giác cơ bản – SGK đại số lớp 11
Ở bài trước, các em đã được tìm hiểu về 4 hàm số lượng giác. Trong bài học hôm nay, hãy cùng tìm hiểu các phương trình lượng giác cơ bản của các hàm số đó nhé! Hy vọng hệ thống kiến thức lý thuyết và bài tập sau đây sẽ giúp các em làm chủ được phần nội dung này!
Mục tiêu:
- Nắm được tính chất, cách xác định nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản.
- Giải được các phương trình lượng giác được đưa ra dưới dạng các bài tập trong bài.
>> Xem thêm: Khoảng cách – Lời giải chi tiết bài tập SGK toán lớp 11
Nội dung bài học Phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình sin x= a
Xét phương trình sinx=a (1)
- Trường hợp |a|>1
Phương trình (1) vô nghiệm.
- Trường hợp |a|≤1
Gọi α (số đo radian) là một cung thỏa mãn sinα=a.
Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện {−π2≤α≤π2sinα=a thì ta viết α=arcsina.
Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:
Chú ý
a. Phương trình sinx=sinα với α là một số cho trước, có các nghiệm là
x=α+k2π,k∈Z
x=π−α+k2π,k∈Z
Tổng quát
sinf(x)=sing(x)⇔[f(x)=g(x)+k2π,k∈Zf(x)=π−g(x)+k2π,k∈Z
b. Phương trình sinx=sinβ0 có các nghiệm là
x=β0+k3600,k∈Z
Và
x=1800−β0+k3600,k∈Z
c. Trong các công thức về nghiệm của phương trình lượng giác không dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
d. Các trường hợp đặc biệt
sinx=0⇔x=kπ(k∈Z)
sinx=1⇔x=π2+k2π(k∈Z)
sinx=−1⇔x=−π2+k2π(k∈Z)
Phương trình cos x= a
Xét phương trình cosx=a (2)
- Trường hợp |a|>1
Phương trình (2) vô nghiệm.
- Trường hợp |a|≤1
Gọi α (radian) là một cung thỏa mãn cosα=a.
Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là
Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện {0≤α≤πcosα=a thì ta viết α=arccosa.
Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:
Chú ý
a. Phương trình cosx=cosα , với α là một số cho trước, có các nghiệm là
x=±α+k2π,k∈Z
Tổng quát
cosf(x)=cosg(x)⇔f(x)=±g(x)+k2π,k∈Z
b. Phương trình cosx=cosβ0 có các nghiệm là
x=±β0+k3600,k∈Z
c. Các trường hợp đặc biệt
cosx=0⇔x=π2+kπ(k∈Z)
cosx=1⇔x=k2π(k∈Z)
cosx=−1⇔x=π+k2π(k∈Z)
cosx=±1⇔cos2x=1⇔sin2x=0⇔sinx=0⇔x=kπ(k∈Z)
Phương trình tan x = a
Điều kiện của phương trình là x≠π2+kπ,(k∈Z)
Khi đó phương trình có nghiệm là
Chú ý
a. Phương trình tanx=tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:
x=α+kπ,k∈Z
Tổng quát
tanf(x)=tang(x)⇒f(x)=g(x)+kπ,k∈Z
b. Phương trình tan x=tanβ0có các nghiệm là
x=β0+k1800,k∈Z
c. Các trường hợp đặc biệt:
tanx=0⇔x=kπ(k∈Z)
tanx=±1⇔x=±π4+kπ(k∈Z)
Phương trình cot x=a
Điều kiện của phương trình là x≠kπ,(k∈Z)
Khi đó phương trình có nghiệm là
Chú ý
a. Phương trình cotx=cotα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:
x=α+kπ,k∈Z
Tổng quát
cotf(x)=cotg(x)⇒f(x)=g(x)+kπ,k∈Z
b. Phương trình cotx=cotβ0 có các nghiệm là:
x=β0+k1800,k∈Z
c. Các trường hợp đặc biệt:
cotx=0⇔x=π/2+kπ(k∈Z)
cotx=±1⇔x=±π/4+kπ(k∈Z)
Giải bài tập SGK trang 28 Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:
Lời giải:
Bài 2 (trang 28 SGK Đại số 11):
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?
Lời giải:
Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:
Lời giải:
Vậy phương trình có họ nghiệm 
b. cos 3x = cos 12º
⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z
⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z
Vậy phương trình có họ nghiệm x = ±4º + k.120º (k ∈ Z)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
Bài 4 (trang 29 SGK Đại số 11):
Giải phương trình 
Lời giải:
+ Điều kiện: sin 2x ≠ 1.
+ Xét k lẻ. Đặt k = 2n + 1
∀ n (TMDK).
+ Xét k chẵn. Đặt k = 2n
∀ n (Không TMDK).
Vậy phương trình có họ nghiệm 
Bài 5 (trang 29 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:
Lời giải:
a. (Điều kiện : x – 15º ≠ 90º + k.180º với ∀ k ∈ Z)
⇔ x – 15º = 30º + k180º , k ∈ Z
⇔ x = 45º + k.180º, k ∈ Z
Vậy phương trình có họ nghiệm x = 45º + k.180º (k ∈ Z).
b. Điều kiện: 3x – 1 ≠ kπ ∀ k ∈ Z
Mọi giá trị thuộc họ nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình có họ nghiệm 
* Chú ý: Nếu các bạn sử dụng máy tính, kết quả cho được là 
thay vì 
Các bạn sử dụng kết quả nào cũng đúng vì và hơn kém nhau π = 1 chu kì của hàm tan.
c. cos2x.tanx = 0
(Điều kiện xác định: 
).
Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
(k ∈ Z).
d. sin3x.cotx = 0
(Điều kiện xác định: x ≠ kπ ∀ k ∈ Z).
Kết hợp với điều kiện ta được 
Vậy phương trình có các họ nghiệm 
Bài 6 (trang 29 SGK Đại số 11):
Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan(π/4 – x) và y = tan 2x bằng nhau?
Lời giải:
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra 
(k ∈ Z)
Vậy với 
(k ∈ Z) thì 
Bài 7 (trang 29 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:
a. sin3x – cos5x = 0 ;
b. tan3x.tanx = 1
Lời giải:
a. sin3x – cos5x = 0
Vậy phương trình có hai họ nghiệm 
(k ∈ Z).
b. tan3x.tanx = 1 (Điều kiện: 
)
Các nghiệm thuộc họ nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có họ nghiệm 
(k ∈ Z).
Bài tập tự luyện Phương trình lượng giác
Làm các bài tập tự luyện giúp em rèn luyện tư duy giải nhanh các bài trắc nghiệm:
Phần câu hỏi
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Phần đáp án
1.B 2.A 3. A 4.B 5.B
Lời kết
Bài học này giúp ta thấy rằng, chúng ta có thể vận dụng các phương trình lượng giác cơ bản để giải quyết rất nhiều các dạng bài tập khác nhau. Vì thế, em hãy học tập thật kỹ nội dung này để không bỏ sót bất kỳ kiến thức quan trọng này nhé! Chúc các em học tập tốt và đạt nhiều kết quả cao trong học tập!
>> Xem thêm:
