Lớp 11

Một số phương trình lượng giác thường gặp – Đại số 11

5/5 - (3 bình chọn)

Ở bài học trước, các em đã được giới thiệu một số phương trình lượng giác cơ bản. Trên thực tế, toán học còn có vô vàn những phương trình lượng giác khác thú vị hơn nhiều. Bài viết này của wikihocctap sẽ giới thiệu đến các em một số phương trình lượng giác thường gặp nhé!

Mục tiêu bài học

  • Nắm được định nghĩa, cách giải của phương trình bậc nhất, bậc hai với hàm số lượng giác. 
  • Giải được các bài tập sách giáo khoa và bài tập tự luyện có trong bài.

Lý thuyết cần nắm Phương trình lượng giác

Tổng hợp lý thuyết cơ bản nhất, được trình bày một cách chi tiết, giúp các em nắm được kiến thức một cách hiệu quả!

>> Xem thêm: Cấp số nhân Toán lớp 11 – Đạt 8-9 dễ dàng cùng Wikihoctap

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

1. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at+b=0

Với a,b là các hằng số a0 và t là một hàm số lượng giác nào đó.

2. Cách giải

at+b=0t=ba đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ

3–√cotx3=0cotx=3–√=cotπ6

x=π6+kπ,kZ

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 5cosx2sin2x=0;

b. 8sinxcosxcos2x=1.

Giải

a. Ta có 5cosx2sin2x=05cosx4sinxcosx=0

một số phương trình lượng giác thường gặp
Một số phương trình lượng giác thường gặp – Đại số 11

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at^2+bt+c=0

Trong đó a,b,c là các hằng số (a0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho các ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Ta có bảng sau:

một số phương trình lượng giác thường gặp

một số phương trình lượng giác thường gặp

3. Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Có nhiều phương trình lượng giác mà khi giải có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Ví dụ: 

một số phương trình lượng giác thường gặp

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

1. Công thức biến đổi biểu thức asinx+bcosx

một số phương trình lượng giác thường gặp

2. Phương trình dạng asinx+bcosx=c

  • Xét phương trình asinx+bcosx=c, với a,b,cR;a,b không đồng thời bằng 0(a^2+b^20).
  • Nếu a=0,b0 hoặc a0,b=0, phương trình asinx+bcosx=c có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản. Nếu a0,b0, ta áp dụng công thức (I).

Ví dụ: Giải phương trình

sinx+√3 cosx=1.

Giải

Theo công thức (I) ta có

một số phương trình lượng giác thường gặp

một số phương trình lượng giác thường gặp

Giải bài tập SGK Đại số 11 Phương trình lượng giác

Bài 1: Giải phương trình: sin2x – sin x = 0

Lời giải:

Giải bài 1 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 1 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z).

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cos x + 1 = 0

b) 2sin 2x + √2.sin4x = 0.

Lời giải:

a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) trở thành 2t2 – 3t + 1 = 0

Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z).

Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Bài 3: Giải các phương trình sau:

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (Phương trình bậc hai với ẩn Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 ).

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

b. 8cos2x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x – 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm {Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + k2π; Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + k2π; arcsinGiải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + k2π; π – arcsinGiải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + k2π (k ∈ Z).

c. Điều kiện: Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm {Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + kπ; arctanGiải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + kπ} (k ∈ Z)

d. Điều kiện Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

tanx – 2.cotx + 1 = 0

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm {Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 + kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z)

Bài 4 : Giải các phương trình sau:

a. 2sin2 x + sinx.cosx – 3cos2 x = 0

b. 3sin2 x – 4 sinx.cosx + 5 cos2 x =2

c. sin2 x + sin2x – 2 cos2 x = 1/2

d. 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

Lời giải:

a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

b) 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Bài 5: Giải các phương trình sau:

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Ta có: Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 nên tồn tại α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

(1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vì Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 nên tồn tại α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a. tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan (x+π/4) = 1

Lời giải:

a. Điều kiện: Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 (k ∈ Z).

b. Điều kiện:

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

⇔ tan x.(1 – tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x – tan2x + 2.tan x = 0

⇔ tan2x – 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx – 3) = 0

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: {arctan 3+kπ; k ∈ Z }

Bài tập tự luyện Phương trình lượng giác

Bài tập tự luyện do Wikihoctap biên soạn sẽ giúp các em luyện tập cách suy nghĩ, giải nhanh và tư duy logic!

Phần câu hỏi

Câu 1: Phương trình: 1+sin2x=0 có nghiệm là:

A. x=π/2+k2π.

B. x=π/4+kπ.

C. x=π/4+k2π.

D. x=π/2+kπ

Câu 2:

một số phương trình lượng giác thường gặp

Câu 3:

một số phương trình lượng giác thường gặp

Câu 4:

một số phương trình lượng giác thường gặp

Phần đáp án

1.B       2.B     3.B      4.B

Lời kết

Bí quyết để giải được một số phương trình lượng giác thường gặp đó là các em phải nhớ được tập xác định, tập nghiệm của mỗi loại phương trình đó. Và để nhớ được, các em hãy giải thật nhiều bài toán liên quan đến nội dung này. Đừng lo vì đã có wikihoctap luôn ở đây và cung cấp cho các em những bài giảng, câu hỏi và bài tập chất lượng nhất nhé!

>> Xem thêm:

Minh Phương

Là 1 giáo viên Toán tôi luôn nỗ lực không ngừng để mang đến cho học sinh những bài học sinh động, lý thú, giúp các em vững vàng kiến thức và say mê, yêu thích môn Toán hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button