Một số phương trình lượng giác thường gặp – Đại số 11

Ở bài học trước, các em đã được giới thiệu một số phương trình lượng giác cơ bản. Trên thực tế, toán học còn có vô vàn những phương trình lượng giác khác thú vị hơn nhiều. Bài viết này của wikihocctap sẽ giới thiệu đến các em một số phương trình lượng giác thường gặp nhé!

Mục tiêu bài học

• Nắm được định nghĩa, cách giải của phương trình bậc nhất, bậc hai với hàm số lượng giác. 
• Giải được các bài tập sách giáo khoa và bài tập tự luyện có trong bài.

Lý thuyết cần nắm Phương trình lượng giác

Tổng hợp lý thuyết cơ bản nhất, được trình bày một cách chi tiết, giúp các em nắm được kiến thức một cách hiệu quả!

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

1. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at+b=0

Với a,b là các hằng số a≠0 và t là một hàm số lượng giác nào đó.

2. Cách giải

at+b=0⇔t=−ba đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ

3–√cotx−3=0⟺cotx=3–√=cotπ6

⇔x=π6+kπ,k∈Z

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 5cosx−2sin2x=0;

b. 8sinxcosxcos2x=−1.

Giải

a. Ta có 5cosx−2sin2x=0⇔5cosx−4sinxcosx=0

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

at^2+bt+c=0

Trong đó a,b,c là các hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho các ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Ta có bảng sau:

3. Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Có nhiều phương trình lượng giác mà khi giải có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Ví dụ: 

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

1. Công thức biến đổi biểu thức asinx+bcosx

2. Phương trình dạng asinx+bcosx=c

• Xét phương trình asinx+bcosx=c, với a,b,c∈R;a,b không đồng thời bằng 0(a^2+b^2≠0).
• Nếu a=0,b≠0 hoặc a≠0,b=0, phương trình asinx+bcosx=c có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản. Nếu a≠0,b≠0, ta áp dụng công thức (I).

Ví dụ: Giải phương trình

sinx+√3 cosx=1.

Giải

Theo công thức (I) ta có

Giải bài tập SGK Đại số 11 Phương trình lượng giác

Bài 1: Giải phương trình: sin²x – sin x = 0

Lời giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z).

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 3cos x + 1 = 0

b) 2sin 2x + √2.sin4x = 0.

Lời giải:

a. 2cos²x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) trở thành 2t² – 3t + 1 = 0

 (thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z).

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

Bài 3: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

 (Phương trình bậc hai với ẩn  ).

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

b. 8cos²x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8(1 – sin²x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin²x – 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Vậy phương trình có tập nghiệm { + k2π;  + k2π; arcsin + k2π; π – arcsin + k2π (k ∈ Z).

c. Điều kiện: 

2tan²x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm { + kπ; arctan + kπ} (k ∈ Z)

d. Điều kiện 

tanx – 2.cotx + 1 = 0

 (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm { + kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z)

Bài 4 : Giải các phương trình sau:

a. 2sin² x + sinx.cosx – 3cos² x = 0

b. 3sin² x – 4 sinx.cosx + 5 cos² x =2

c. sin² x + sin2x – 2 cos² x = 1/2

d. 2cos²x – 3√3sin2x – 4sin²x = -4

Lời giải:

a) 2sin²x + sinx.cosx – 3cos²x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin²x = 1 – cos²x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos²x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

b) 3sin²x – 4sinx.cosx + 5cos²x = 2

⇔ 3sin²x – 4sinx.cosx + 5cos²x = 2(sin²x + cos²x)

⇔ sin²x – 4sinx.cosx + 3 cos²x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin²x = 1.

Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos²x ta được

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin²x = 1 – cos²x = 1

(1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos²x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

Bài 5: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

Ta có:  nên tồn tại α thỏa mãn 

(1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z)

với α thỏa mãn 

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

Vì  nên tồn tại α thỏa mãn 

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z)

với α thỏa mãn 

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a. tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan (x+π/4) = 1

Lời giải:

a. Điều kiện: 

Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z).

b. Điều kiện:

⇔ tan x.(1 – tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x – tan²x + 2.tan x = 0

⇔ tan²x – 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx – 3) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: {arctan 3+kπ; k ∈ Z }

Bài tập tự luyện Phương trình lượng giác

Bài tập tự luyện do Wikihoctap biên soạn sẽ giúp các em luyện tập cách suy nghĩ, giải nhanh và tư duy logic!

Phần câu hỏi

Câu 1: Phương trình: 1+sin2x=0 có nghiệm là:

A. x=−π/2+k2π.

B. x=−π/4+kπ.

C. x=−π/4+k2π.

D. x=−π/2+kπ

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

Phần đáp án

1.B       2.B     3.B      4.B

Lời kết

Bí quyết để giải được một số phương trình lượng giác thường gặp đó là các em phải nhớ được tập xác định, tập nghiệm của mỗi loại phương trình đó. Và để nhớ được, các em hãy giải thật nhiều bài toán liên quan đến nội dung này. Đừng lo vì đã có wikihoctap luôn ở đây và cung cấp cho các em những bài giảng, câu hỏi và bài tập chất lượng nhất nhé!

>> Xem thêm:

• Phương trình đường thẳng trong không gian
• Phương trình lượng giác cơ bản cần nhớ
• Hàm số lượng giác- Đại số 11
• Tích phân- Chinh phục Giải tích 12