Phương trình mặt phẳng và những điều bạn cần biết

Bạn biết không, chúng ta hoàn toàn có thể lập được phương trình của một mặt phẳng bất kỳ trên hệ tọa độ Oxyz đấy! Bài học: Phương trình mặt phẳng sẽ giúp bạn biết cách lập một phương trình mặt phẳng đồng thời hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa để bạn tham khảo. Cùng bắt đầu bài học với wikihoctap nhé!

Bài giảng gồm 3 phần chính

• Nắm được khái niệm vector pháp tuyến của mặt phẳng.
• Lập được phương trình của một mặt phẳng bất kỳ.
• Nắm được các điều kiện để hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc.
• Tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lý thuyết về Phương trình mặt phẳng

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng

Cho mp (P).

Nếu vectơ n→≠0→ và có giá vuông góc với (P) thì n→  được gọi là vectơ pháp tuyến của (P).

Chú ý: Nếu n→ là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn→ với k≠0, cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Trong KG, cho mp (P) và hai vectơ không cùng phương a→=(a1;a2;a3), b→=(b1;b2;b3)  có giá song song hoặc nằm trong (P). Khi đó, nếu n→  là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì

Vectơ n→  xác định như trên chính là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ  a→ và b→  .

Kí hiệu: n→=[a→,b→]  hoặc n→=a→∧b→  .

Ví dụ: Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm  A(2;–1;3),B(4;0;1),C(–10;5;3).

Giải

Ta có

AB−→−=(2;1;−2), AC−→−=(−12;6;0).

n→=[AB−→−,AC−→−]=(12;24;24) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa: 

Phương trình  Ax+By+Cz+D=0, trong đó A2+B2+C2≠0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét:

a) (P): Ax+By+Cz+D=0 ⇒ (P) có 1 VTPT là n→=(A;B;C).

b) PT của (P) qua M0=(x0;y0;z0) và có VTPT n→=(A;B;C)  là: A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+3y−z+2=0. Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Giải

Một véctơ  pháp tuyến của (P) là n→=(2;3;−1) .

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0=(1;−2;3) và có vectơ pháp tuyến n→=(−2;1;4) .

Giải

Phương trình mặt phẳng (P) qua M0=(1;−2;3) và có VTPT n→=(−2;1;4) là:

−2(x−1)+1(y+2)+4(z−4)=0 ⇔ −2x+y+4z−12=0

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):

Ax+By+Cz+D=0 (1)

Nếu D=0 thì (P) đi qua gốc tọa độ O.

Nếu A=0 thì [(P)⊂Ox(P)//Ox().

Nếu A=B=0 ⇔  [(P)//(0xy)(P)≡(Oxy)()

Khi đó mặt phẳng (P) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)  . Phương trình (2) được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(1;0;0),N(0;2;0),P(0;0;3). Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP).

Giải

Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng (MNP) là

x/1+y/2+z/3=1

Hay 6x+3y+2z−6=0.

Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc

1. Điều kiện hai mặt phẳng song song

Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng (P1),(P2) có phương trình

(P1): A1x+B1y+C1z+D1=0

(P2): A2x+B2y+C2z+D2=0

• (P1)//(P2)

• (P1) cắt (P2)

⇔ n1−→≠kn2−→ ⇔ (A1;B1;C1)≠k(A2;B2;C2)

Ví dụ: Viết PT mp (P) đi qua điểm M(1;−2;3) và song song với mp (Q):2x−3y+z+5=0  .

Giải

Vì (P)//(Q) nên (P) có VTPT n→=(2;−3;1)  .

⇒ (P):2(x−1)−3(y+2)+1(z−3)=0

⇔ 2x−3y+z−11=0.

2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình

(P1): A1x+B1y+C1z+D1=0

(P2): A2x+B2y+C2z+D2=0

(P1) ⊥ (P2) ⇔ n1−→.n2−→=0

⇔ A1A2+B1B2+C1C2=0

Ví dụ:

1) Xác định m để hai mp sau vuông góc với nhau:

(P):2x−7y+mz+2=0

(Q):3x+y−2z+15=0

2) Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm A(3;1;−1,B(2;−1;4) và vuông góc với mp (Q):2x−y+3z−1=0  .

Giải

1) (P) ⊥ (Q) ⇔ A1A2+B1B2+C1C2=0 ⇔ m=−12

2) (P) có cặp vectơ chỉ phương là:

AB−→−=(−1;−2;5) và nQ−→=(2;−1;3).nP−→=[AB−→−,nQ−→]=(−1;13;5) ⇒ (P):x−13y−5z+5=0

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lí: Trong không gian Oxyz, cho (P):Ax+By+Cz+D=0 và điểm M0(x0;y0;z0). Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (P), kí hiệu là d(M0,(P)), được tính theo công thức:

Giải bài tập SGK Phương trình mặt phẳng

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận n→ = (2 ; 3 ; 5) làm vec tơ pháp tuyến

b) Đi qua A(0; -1; 2) và song song với giá của mỗi vec tơ u→ = (3; 2; 1) và v→ = (-3; 0; 1).

c) Đi qua ba điểm A(-3; 0; 0); B(0; -2; 0) và C(0; 0; -1).

Lời giải:

a) Mặt phẳng đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận n→ = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4) = 0

⇔ 2x + 3y + 5z – 16 = 0.

b) Mặt phẳng nhận u→ và v→ là vec tơ chỉ phương

⇒ nhận  = (2.1 – 1.0 ; 1.(-3) – 3.1 ; 3.0 – (-3).2) = (2; -6; 6) là vec tơ pháp tuyến.

Mặt phẳng đi qua A(0 ; -1 ; 2) nên có phương trình :

2(x – 0) – 6(y + 1) + 6(z – 2) = 0

⇔ 2x – 6y + 6z – 18 = 0

⇔ x – 3y + 3z – 9 = 0

c)

Mặt phẳng (R) đi qua ba điểm A, B, C nhận  là hai vec tơ chỉ phương

⇒ Nhận  = ((-2).(-1) – 0; 0.3 – 3.(-1); 3.0 – 3.(-2)) = (2; 3; 6) là vec tơ pháp tuyến.

(R) đi qua A(-3; 0; 0) nên có phương trình:

2(x + 3) + 3y + 6z = 0

⇔ 2x + 3y + 6z + 6 = 0.

Bài 2 

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3)

Lời giải:

Bài 3 

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz và Ozx

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

a) Mặt phẳng Oxy là tập hợp các điểm có cao độ z = 0 nên có phương trình: z = 0.

Tương tự:

Mặt phẳng Oyz: x = 0

Mặt phẳng Ozx: y = 0.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; -3) và song song với (Oxy): z + 3 = 0

Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; -3) và song song với (Oyz): x – 2 = 0

Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; -3) và song song với (Ozx): y – 6 = 0.

Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng:

a)Chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2)

b)Chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3)

c)Chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7)

Lời giải:

a) (P) chứa Ox và điểm P(4; -1; 2).

+ (P) chứa Ox ⇒ nhận i→ = (1; 0; 0) là 1 vtcp

+ (P) chứa O(0 ; 0 ; 0) và P(4 ; -1 ; 2) ⇒ nhận  = ( 4 ; -1 ; 2) là 1 vtcp

⇒ (P) nhận  = (0; -2; -1) là 1 vtpt

⇒ (P): -2.(y – 0) – 1.(z – 0) = 0

hay (P) : 2y + z = 0.

b) (Q) chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3)

+ (Q) chứa Oy ⇒ nhận j→ = (0; 1; 0) là 1 vtcp).

+ (Q) chứa O(0 ; 0 ; 0) và Q(1 ; 4 ; -3) ⇒ nhận  = ( 1 ; 4 ; -3) là 1 vtcp

⇒ (Q) nhận  = (-3; 0; -1) là 1 vtpt

⇒ (Q): -3(x – 0) – 1.(z – 0) = 0

hay (Q): 3x + z = 0.

c) (R) chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7)

+ (R) chứa Oz ⇒ nhận k→ = (0; 0; 1) là 1 vtcp.

+ (R) chứa O(0 ; 0 ; 0) và R(3 ; -4 ; 7) ⇒ nhận  = ( 3 ; -4 ; 7) là 1 vtcp

⇒ (R) nhận  = (4; 3; 0) là 1 vtpt

⇒ (R): 4(x – 0) + 3.(y – 0) = 0

hay (R): 4x + 3y = 0.

Bài 5 

 Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)

a)Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD)

b)Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.

Lời giải:

Bài 6 

Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2; -1; 2) và song song với mặt phẳng (β) : 2x – y + 3z + 4 = 0

Lời giải:

Vì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng ( β) : 2x – y + 3z + 4 = 0 nên phương trình của mp(α) có dạng 2x – y + 3z + D = 0

Vì M(2; -1; 2) ∈ mp(α) nên 4 + 1 + 6 + D = 0 <=> D = -11

Vậy phương trình của mp(α) là: 2x – y + 3z – 11= 0

Bài 7

Lập phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng ( β) : 2x – y + z – 7 = 0

Lời giải:

Bài 8

Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau;

a)2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z + 2 =0

b)3x – 5y + mz – 3 = 0 và 2x + ny – 3z + 1 = 0

Lời giải:

Bài 9 

Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) 2x – y + 2z – 9 = 0 (α)

b) 12x – 5z + 5 = 0 ( β)

c) x = 0 ( γ;)

Lời giải:

Bài 10 

giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.

a)Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.

b)Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O ≡ A; 

⇒ A(0; 0; 0) ; B(1; 0; 0); C(1; 1; 0); D(0; 1; 0).

A’(0; 0; 1); B’(1; 0; 1); C’(1; 1; 1); D’(0; 1; 1).

a)

⇒ Vectơ pháp tuyến của (AB’D’) là:

⇒ Vectơ pháp tuyến của (BC’D) là:

⇒ (AB’D’) // (BC’D).

b) Mặt phẳng (BC’D) có VTPT  (1;1; -1) và qua B (1; 0;0) nên có phương trình:

1( x- 1) + 1( y – 0) – 1( z- 0)= 0 hay x + y – z – 1 = 0

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB’D’) và (BC’D) chính là khoảng cách từ A đến (BC’D) và bằng :

Lời kết:

Các kiến thức trên đây đều là những nội dung trọng tâm sẽ xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp của các bạn. Vì vậy, hãy không ngừng củng cố và luyện tập để thành thạo nội dung này nhé! Wikihoctap chúc bạn sẽ giải quyết được toàn bộ các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng sẽ gặp trong tương lai!

>> Xem thêm:

• Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
• Phương trình đường thẳng
• Phương trình lượng giác cơ bản
• Đường thẳng và mặt phẳng