Tích của Vecto với một số – giải bài tập Hình học 10

5/5 - (3 bình chọn)

Khi tìm hiểu về vecto, đã bao giờ em đặt ra câu hỏi: Bên cạnh tổng và hiệu của hai vecto, có thể tính được tích của Vecto với một số không? Câu trả lời là có. Vậy tính như thế nào? Cùng khám phá trong bài giảng sau đây của wikihoctap nhé!

Mục tiêu bài học

  • Hiểu được định nghĩa và tính chất tích của Vecto với một số.
  • Giải được các bài tập SGK và bài tập tự luyện có trong bài giảng.

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho số k ≠ 0 và vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án. Tích của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án với số k là một vectơ, kí hiệu là k Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án, cùng hướng với Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án nếu k > 0, ngược hướng với Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án nếu k < 0 và có độ dài bằng |k|.| Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án|

2. Tính chất

Với hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án bất kì, với mọi số h và k, ta có

tích của Vecto với một số
Tích của Vecto với một số – giải bài tập Hình học 10

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án cùng phương là có một số k để Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nhận xét:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án không cùng phương. Khi đó mọi vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa

Bài 3 – 1 trang 14:

Cho vectơ a→ ≠ 0. Xác định độ dài và hướng của vectơ a→ + a→.

Hướng dẫn giải:

Ta có: a→ + a→ = 2a→

Độ dài của vecto a→ + a→ bằng 2 lần độ dài của vecto a→

Hướng của vecto a→ + a→ cùng hướng với vecto a

Bài 3 – 2 trang 14:

Tìm vectơ đối của các vectơ ka→ và 3a→ – 4b→.

Hướng dẫn giải:

Vectơ đối của các vectơ ka→ là vectơ -ka→

Vectơ đối của các vectơ 3a→ – 4b→ là vecto -3a→ + 4b→

Bài 3 trang 15:

Hãy sử dụng mục 5 của bài 2 để chứng minh các khẳng định trên.

Hướng dẫn giải:

tích của Vecto với một số

Bài 1 (trang 17 SGK Hình học 10):

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: Giải bài 1 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Hướng dẫn giải:

tích của Vecto với một số

ABCD là hình bình hành

tích của Vecto với một số

Bài 2 (trang 17 SGK Hình học 10):

Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ Giải bài 2 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10 theo hai vec tơ Giải bài 2 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10Giải bài 2 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Hướng dẫn giải:

tích của Vecto với một số

+ K là trung điểm của BC nên ta có: Giải bài 2 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

+ M là trung điểm AC nên ta có: Giải bài 2 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

+ Lại có Giải bài 2 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Cộng (1) với (3) ta được Giải bài 2 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10 kết hợp với (2) ta được hệ phương trình: Giải bài 2 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Giải hệ phương trình ta được Giải bài 2 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

tích của Vecto với một số

Bài 3 (trang 17 SGK Hình học 10):

Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho Giải bài 3 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10 . Hãy phân tích vec tơ Giải bài 3 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10 theo hai vec tơ Giải bài 3 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Hướng dẫn giải:

tích của Vecto với một số

Ta có: Giải bài 3 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Theo quy tắc ba điểm ta có: Giải bài 3 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Lấy (1) trừ 3 lần (2) ta được: tích của Vecto với một số

Bài 4 (trang 17 SGK Hình học 10):

Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:

tích của Vecto với một số

Hướng dẫn giải:

tích của Vecto với một số

tích của Vecto với một số

Bài 5 (trang 17 SGK Hình học 10):

Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: Giải bài 5 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Hướng dẫn giải:

tích của Vecto với một số

tích của Vecto với một số

tích của Vecto với một số

Bài 6 (trang 17 SGK Hình học 10):

Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho Giải bài 6 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Hướng dẫn giải:

tích của Vecto với một số

hay K là điểm nằm trên đoạn thẳng AB và Giải bài 6 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

tích của Vecto với một số

Bài 7 (trang 17 SGK Hình học 10):

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho Giải bài 7 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Hướng dẫn giải:

tích của Vecto với một số

Gọi D là trung điểm AB. Khi đó với mọi điểm M ta có :

tích của Vecto với một số

⇔ M là trung điểm của trung tuyến từ đỉnh C.

Bài 8 (trang 17 SGK Hình học 10):

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Hướng dẫn giải:

tích của Vecto với một số

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR Giải bài 8 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Ta cần đi chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh Giải bài 8 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Thật vậy ta có:

tích của Vecto với một số

(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)

tích của Vecto với một số

(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)

Giải bài 8 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Giải bài 8 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10 hay G cũng là trọng tâm của ΔNQS.

Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.

Bài 9 (trang 17 SGK Hình học 10):

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.

Chứng minh rằng Giải bài 9 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Hướng dẫn giải:

tích của Vecto với một số

Ta có: tích của Vecto với một số

⇒ ΔMHS đều.

MD ⊥ SH nên MD là đường cao đồng thời là trung tuyến của ΔMHS.

⇒ D là trung điểm của HS

Giải bài 9 trang 17 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Lời kết

Như vậy, cách làm khi tính tích của Vecto với một số rất đơn giản phải không các em? Để khám phá thêm những bài tập nâng cao thuộc dạng này, các em hãy truy cập vào website wikihoctap nhé! Chúc các em có những phút giây học tập vui vẻ và thoải mái.

Xem thêm: 

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *