Tích của Vecto với một số – Giải bài tập Hình học 10
Khi tìm hiểu về Vecto, đã bao giờ em đặt ra câu hỏi: Bên cạnh tổng và hiệu của hai vecto, có thể tính được tích của Vecto với một số không? Câu trả lời là có. Vậy tính như thế nào? Cùng khám phá trong bài giảng sau đây của wikihoctap nhé!
Mục tiêu bài học
- Hiểu được định nghĩa và tính chất tích của Vecto với một số.
- Giải được các bài tập SGK và bài tập tự luyện có trong bài giảng.
Lý thuyết tích của Vecto với 1 số
Dưới đây là nội dung của bài giảng về Tích của Vectơ với một số trong toán lớp 10:
Định nghĩa: Tích của vectơ với một số là một phép toán trong vectơ học, kết quả của phép toán này là một vectơ.
Cách tính: Để tính tích của vectơ A với một số thực k, ta nhân từng thành phần của vectơ A với k. Kết quả thu được là một vectơ mới có cùng hướng (nếu k > 0) hoặc ngược hướng (nếu k < 0) so với vectơ ban đầu.
Tính chất:
-
- Tích của vectơ với số thực k có thể được biểu diễn bằng cách nhân chiều dài của vectơ và giá trị tuyệt đối của k.
- Nếu ta nhân tích hai vectơ bằng nhau, tức là (k*A) = (l*A) trong đó k và l là các số thực khác không, ta có thể suy ra rằng k = l hoặc A = 0 (vectơ không).
Ví dụ: Giả sử có vectơ A = (-2, 5) và số thực k = -3. Tích của A với k sẽ là (-2*(-3), 5*(-3)) = (6, -15).
Hy vọng những thông tin này sẽ giúp bạn hiểu về Tích của Vectơ với một số trong toán lớp 10. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào khác, bạn có thể tiếp tục hỏi.
>> Xem thêm: Hệ trục tọa độ hình học 10 – Bài tập lời giải chi tiết
1. Định nghĩa
Cho số k ≠ 0 và vectơ 
. Tích của vectơ 
với số k là một vectơ, kí hiệu là k , cùng hướng với nếu k > 0, ngược hướng với nếu k < 0 và có độ dài bằng |k|.| |
2. Tính chất
Với hai vectơ 
bất kì, với mọi số h và k, ta có
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có
b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có
4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ 
cùng phương là có một số k để 
Nhận xét:
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để 
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ 
không cùng phương. Khi đó mọi vectơ 
đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho 
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa
Bài 3 – 1 trang 14:
Cho vectơ a→ ≠ 0. Xác định độ dài và hướng của vectơ a→ + a→.
Hướng dẫn giải:
Ta có: a→ + a→ = 2a→
Độ dài của vecto a→ + a→ bằng 2 lần độ dài của vecto a→
Hướng của vecto a→ + a→ cùng hướng với vecto a
Bài 3 – 2 trang 14:
Tìm vectơ đối của các vectơ ka→ và 3a→ – 4b→.
Hướng dẫn giải:
Vectơ đối của các vectơ ka→ là vectơ -ka→
Vectơ đối của các vectơ 3a→ – 4b→ là vecto -3a→ + 4b→
Bài 3 trang 15:
Hãy sử dụng mục 5 của bài 2 để chứng minh các khẳng định trên.
Hướng dẫn giải:
Bài 1 (trang 17 SGK Hình học 10):
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn giải:
ABCD là hình bình hành
Bài 2 (trang 17 SGK Hình học 10):
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ 
theo hai vec tơ 
và 
Hướng dẫn giải:
+ K là trung điểm của BC nên ta có: 
+ M là trung điểm AC nên ta có: 
+ Lại có 
Cộng (1) với (3) ta được 
kết hợp với (2) ta được hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình ta được 
Bài 3 (trang 17 SGK Hình học 10):
Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho 
. Hãy phân tích vec tơ 
theo hai vec tơ 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Theo quy tắc ba điểm ta có: 
Lấy (1) trừ 3 lần (2) ta được: 
Bài 4 (trang 17 SGK Hình học 10):
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:
Bài 5 (trang 17 SGK Hình học 10):
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn giải:
Bài 6 (trang 17 SGK Hình học 10):
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho 
Hướng dẫn giải:
hay K là điểm nằm trên đoạn thẳng AB và 
Bài 7 (trang 17 SGK Hình học 10):
Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho 
Hướng dẫn giải:
Gọi D là trung điểm AB. Khi đó với mọi điểm M ta có :
⇔ M là trung điểm của trung tuyến từ đỉnh C.
Bài 8 (trang 17 SGK Hình học 10):
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR 
Ta cần đi chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh 
Thật vậy ta có:
(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)
(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)
hay G cũng là trọng tâm của ΔNQS.
Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.
Bài 9 (trang 17 SGK Hình học 10):
Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.
Chứng minh rằng 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
⇒ ΔMHS đều.
MD ⊥ SH nên MD là đường cao đồng thời là trung tuyến của ΔMHS.
⇒ D là trung điểm của HS
Lời kết
Như vậy, cách làm khi tính tích của Vecto với một số rất đơn giản phải không các em? Để khám phá thêm những bài tập nâng cao thuộc dạng này, các em hãy truy cập vào website wikihoctap nhé! Chúc các em có những phút giây học tập vui vẻ và thoải mái.
Xem thêm:
