Lớp 10

Tích vô hướng của 2 vecto – Toán hình học 10

5/5 - (6 bình chọn)

Tích vô hướng của 2 vecto là một nội dung rất quan trọng trong chương trình hình học lớp 10. Bài giảng sau đây của wikihoctap sẽ giúp các em tổng hợp tất tần tật những điều cần biết về tích vô hướng. Đồng thời hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa chi tiết để các em tham khảo nhé!

Mục tiêu bài học

  • Hiểu được định nghĩa và tính chất tích vô hướng của hai vecto
  • Nhớ được biểu thức tọa độ của tích vô hướng
  • Nắm được ứng dụng của tích vô hướng trong việc tính độ dài vecto và tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.

Lý thuyết bài học Tích vô hướng 2 Vecto

Tích vô hướng là một phép toán trong đại số tuyến tính được áp dụng cho hai vectơ. Tích vô hướng của hai vectơ A và B được ký hiệu là A · B hoặc AB.

Công thức tính tích vô hướng giữa hai vectơ A = (A1, A2, A3) và B = (B1, B2, B3) trong không gian ba chiều là:

A · B = A1 * B1 + A2 * B2 + A3 * B3

Trong đó, A1, A2, A3 lần lượt là các thành phần của vectơ A và B1, B2, B3 lần lượt là các thành phần của vectơ B.

Kết quả của tích vô hướng là một số thực. Nếu kết quả bằng 0, có nghĩa là hai vectơ vuông góc nhau. Nếu kết quả lớn hơn 0, có nghĩa là hai vectơ cùng phương hoặc có góc nhọn. Nếu kết quả nhỏ hơn 0, có nghĩa là hai vectơ ngược phương hoặc có góc tù.

Tích vô hướng còn có thể được sử dụng để tính cosin của góc giữa hai vectơ:

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)

Trong đó θ là góc giữa hai vectơ, |A| và |B| lần lượt là độ dài của A và B.

Tích vô hướng có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và các lĩnh vực khác nhau.

>> Tìm hiểu thêm : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác lớp 10

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án đều khác vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án. Tích vô hướng của Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án là một số, kí hiệu là Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án , Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánđược xác định bởi công thức sau:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án bằng vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ta quy ước:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Chú ý

+) Với Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án khác vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ta có: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

+) Khi Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án tích vô hướng Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án được kí hiệu là Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Ta có: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:

tích vô hướng của 2 vecto
Tích vô hướng của 2 vecto – Toán hình học 10

Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

tích vô hướng của 2 vecto

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án, cho hai vectơ: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Khi đó tích vô hướng Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án . Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nhận xét.

Hai vectơ: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án đều khác vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án vuông góc với nhau khi và chỉ khi: a1b1 + a2b2 = 0.

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = (a1, a2), được tính theo công thức:  Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = (a1, a2) và Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = (b1, b2) đều khác Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án thì ta có: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) được tính theo công thức: Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Bài tập sách giáo khoa

Bài 2 trang 42:

Cho hai vectơ a→ và b→đều khác 0→. Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ đó là số dương ? Là số âm ? Bằng 0 ?

Hướng dẫn giải:

tích vô hướng của 2 vecto

Bài 2 trang 44:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2). Chứng minh vectơ AB ⊥ vectơ AC.

tích vô hướng của 2 vecto

Bài 1 (trang 45 SGK Hình học 10):

Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng  Giải bài 1 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

tích vô hướng của 2 vecto

Giải bài 1 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 2 (trang 45 SGK Hình học 10):

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng Giải bài 2 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10 trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn AB.

Hướng dẫn giải:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB :

tích vô hướng của 2 vecto

b) Điểm O nằm trong đoạn AB :

tích vô hướng của 2 vecto

Bài 3 (trang 45 SGK Hình học 10):

Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB=2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.

a) Chứng minh Giải bài 3 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10Giải bài 3 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính Giải bài 3 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10 theo R.

Hướng dẫn giải:

tích vô hướng của 2 vecto

tích vô hướng của 2 vecto

Giải bài 3 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 4 (trang 45 SGK Hình học 10):

Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.

b) Tính chu vi tam giác OAB.

c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Hướng dẫn giải: 

tích vô hướng của 2 vecto

a) D nằm trên trục Ox nên D có tọa độ D(x ; 0)

Khi đó :

tích vô hướng của 2 vecto

tích vô hướng của 2 vecto

Giải bài 4 trang 45 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Vậy chu vi tam giác OAB là P = AO + BO + AB = √10 + 2√5 + √10 = 2√5 + 2√10

tích vô hướng của 2 vecto

Bài 5 (trang 46 SGK Hình học 10):

Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ a→ và b→ trong các trường hợp sau:

tích vô hướng của 2 vecto

Hướng dẫn giải:

tích vô hướng của 2 vecto

tích vô hướng của 2 vecto

Bài 6 (trang 46 SGK Hình học 10):

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; –2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Hướng dẫn giải:

tích vô hướng của 2 vecto

tích vô hướng của 2 vecto

⇒ ABCD là hình bình hành.

Giải bài 6 trang 46 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

⇒ hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Giải bài 6 trang 46 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông (ĐPCM).

Bài 7 (trang 46 SGK Hình học 10):

Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác vuông ở C.

Hướng dẫn giải:

tích vô hướng của 2 vecto

B đối xứng với A qua O ⇒ O là trung điểm của AB

Giải bài 7 trang 46 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

C có tung độ bằng 2 nên C(x; 2)

Giải bài 7 trang 46 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Tam giác ABC vuông tại C

Giải bài 7 trang 46 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Vậy có hai điểm C thỏa mãn là C1(1; 2) và C2(–1; 2).

Lời kết

Trên đây là hệ thống kiến thức lý thuyết và bài tập liên quan đến tích vô hướng của 2 vecto. Để nâng cao năng lực toán học, các em có thể sưu tầm thêm các bài toán hay thuộc dạng này để giải trên website wikihoctap. Chúc các em thành công trên con đường kiến tạo tri thức.

Xem thêm: 

Hằng Nga

Là một giáo viên Toán với hơn 3 năm giảng dạy tôi mong muốn được chia sẻ nhiều hơn những kiến thức của tôi đến các em học sinh trên mọi miền tổ quốc

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button