Tích vô hướng của 2 vecto – Toán hình học 10
Tích vô hướng của 2 vecto là một nội dung rất quan trọng trong chương trình hình học lớp 10. Bài giảng sau đây của wikihoctap sẽ giúp các em tổng hợp tất tần tật những điều cần biết về tích vô hướng. Đồng thời hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa chi tiết để các em tham khảo nhé!
Mục tiêu bài học
- Hiểu được định nghĩa và tính chất tích vô hướng của hai vecto
- Nhớ được biểu thức tọa độ của tích vô hướng
- Nắm được ứng dụng của tích vô hướng trong việc tính độ dài vecto và tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.
Lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho hai vectơ 
và 
đều khác vectơ 
. Tích vô hướng của và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau:
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ và bằng vectơ ta quy ước:
Chú ý
+) Với và khác vectơ ta có: 
+) Khi = tích vô hướng 
được kí hiệu là 
và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ
Ta có: 
2. Các tính chất của tích vô hướng
Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:
Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trên mặt phẳng tọa độ 
, cho hai vectơ: 
Khi đó tích vô hướng .
Nhận xét.
Hai vectơ: 
đều khác vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi: a1b1 + a2b2 = 0.
4. Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ = (a1, a2), được tính theo công thức: 
b) Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu = (a1, a2) và = (b1, b2) đều khác thì ta có: 
c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) được tính theo công thức: 
Bài tập sách giáo khoa
Bài 2 trang 42:
Cho hai vectơ a→ và b→đều khác 0→. Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ đó là số dương ? Là số âm ? Bằng 0 ?
Hướng dẫn giải:
Bài 2 trang 44:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2). Chứng minh vectơ AB ⊥ vectơ AC.
Bài 1 (trang 45 SGK Hình học 10):
Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng 
Bài 2 (trang 45 SGK Hình học 10):
Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng 
trong hai trường hợp:
a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB;
b) Điểm O nằm trong đoạn AB.
Hướng dẫn giải:
a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB :
b) Điểm O nằm trong đoạn AB :
Bài 3 (trang 45 SGK Hình học 10):
Cho nửa hình tròn tâm O có đường kính AB=2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
a) Chứng minh 
và 
b) Hãy dùng kết quả câu a) để tính 
theo R.
Hướng dẫn giải:
Bài 4 (trang 45 SGK Hình học 10):
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).
a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.
b) Tính chu vi tam giác OAB.
c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Hướng dẫn giải:
a) D nằm trên trục Ox nên D có tọa độ D(x ; 0)
Khi đó :
Vậy chu vi tam giác OAB là P = AO + BO + AB = √10 + 2√5 + √10 = 2√5 + 2√10
Bài 5 (trang 46 SGK Hình học 10):
Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ a→ và b→ trong các trường hợp sau:
Hướng dẫn giải:
Bài 6 (trang 46 SGK Hình học 10):
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; –2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Hướng dẫn giải:
⇒ ABCD là hình bình hành.
⇒ hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông (ĐPCM).
Bài 7 (trang 46 SGK Hình học 10):
Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác vuông ở C.
Hướng dẫn giải:
B đối xứng với A qua O ⇒ O là trung điểm của AB
C có tung độ bằng 2 nên C(x; 2)
Tam giác ABC vuông tại C
Vậy có hai điểm C thỏa mãn là C1(1; 2) và C2(–1; 2).
Lời kết
Trên đây là hệ thống kiến thức lý thuyết và bài tập liên quan đến tích vô hướng của 2 vecto. Để nâng cao năng lực toán học, các em có thể sưu tầm thêm các bài toán hay thuộc dạng này để giải trên website wikihoctap. Chúc các em thành công trên con đường kiến tạo tri thức.
Xem thêm:
