Lớp 11

Vectơ trong không gian – Lời giải bài tập SGK lớp 11

5/5 - (3 bình chọn)

Bài học “Vectơ trong không gian” là bài học đầu tiên thuộc chủ điểm mới của phần hình học lớp 11. Đây là một nội dung còn khá mới lạ. Chình vì vậy, các bạn hãy tham khảo bài giảng sau của wikihoctap nhé! Bài giảng được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm chắc chắn sẽ không làm các bạn phải thất vọng.

Mục tiêu bài học : Vectơ trong không gian 

  • Nắm được khái niệm về vector trong không gian.
  • Nhớ được các tính chất của vector.
  • Giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về vectơ trong không gian.

>> Xem thêm: Hai đường thẳng vuông góc – Bài giảng & lời giải toán lớp 11

Kiến thức cơ bản của bài học : Vecto trong không gian 

Dưới đây là những kiến thức lý thuyết của bài học , các bạn hãy tập trung lắng nghe

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là AB→.

Định nghĩa

Ta có định nghĩa như sau đây : Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB→ chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là a→b→x→y→, …

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trong không gian cho ba vectơ abc đều khác vectơ – không. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = aOB = bOC = c thì có thể xả ra hai trường hợp:

+ Trường hợp thứ nhất xảy ra là : Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng vectơ abc không đồng phẳng.

+ Trường hợp thứ hai xảy ra là : Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nói ba vectơ abc đồng phẳng.

Trong trường hợp này giá của các vectơ abc luôn luôn song song với một mặt phẳng.

vectơ trong không gian
Vectơ trong không gian – Lời giải bài tập SGK lớp 11

a) Ba vectơ abc không đồng phẳng

vectơ trong không gian

b) Ba vectơ abc đồng phẳng

Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

Từ đó ta có định nghĩa sau đây:

2. Định nghĩa

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:

Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ ab không cùng phương và vectơ c→. Khi đó ba vectơ abc đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c = ma+ nb. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

Định lí 2

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng abc. Khi đó với mọi vectơ x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x = ma + nb + pc Ngoại ra bộ ba số m, n, p là duy nhất.

Hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 11 bài học : Vecto trong không gian 

Khi đã học xong phần lý thuyết thì bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau làm một số bài tập để kiểm tra lại kiến thức của mình

Bài 1 :

Chúng ta có đề bài như sau : Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.ABCD. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA, BB, CC, DD lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

Giải bài 1 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

vectơ trong không gian

Giải bài 1 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 2 :

Đề bài cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD. Chứng minh rằng:

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

vectơ trong không gian

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3 : 

Đề bài cung cấp cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng: Giải bài 3 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 3 trang 91 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 4 : 

Đề bài cung cấp cho t những dữ kiện sau đây :  Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của AB và CD.

Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

vectơ trong không gian Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 5 : 

Đề bài cho ta như sau : Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho :

 inline;

Lời giải:

vectơ trong không gian

a) Lấy điểm G sao cho  inline;

⇒ G là đỉnh còn lại của hình bình hành ABGC.

Khi đó  inline;

⇒ E là đỉnh còn lại của hình bình hành AGED.

Hay E là đường chéo của hình hộp có ba cạnh lần lượt là AB; AC; AD.

 inline;

⇒ F là đỉnh còn lại của hình bình hành ADGF

Hay F là điểm đối xứng với E qua G.

Bài 6 :

Bài tập của chúng ta như sau : Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

vectơ trong không gian

Lời giải:

Giải bài 6 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 7 : 

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian. Chứng minh rằng :

Giải bài 7 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 7 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11 Giải bài 7 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 8 : 

Đề bài của chúng ta gồm những dữ liệu sau đây : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA’→=a→; AB→=b→; AC→=c→ . Hãy phân tích (hay biểu thị) các vectơ B’C→, BC’→ qua các vectơ a→ ,b→ , c→

Lời giải:

vectơ trong không gianGiải bài 8 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 9 :

Đề bài của chúng ta như sau :

vectơ trong không gian

Lời giải:

Giải bài 9 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11 Giải bài 9 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Do đó, ba vecto AB→ , MN→ , SC→ đồng phẳng

Bài 10 : 

Giải bài 10 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

vectơ trong không gian

+ Hình bình hành ADHE có:

K = AH ∩ DE ⇒ KA = KH.

Hình bình hành BDHF có:

I = BH ∩ FD ⇒ IH = IB.

ΔHAB có: KA= KH; IH = IB

⇒ KI là đường trung bình của ΔHAB

⇒ KI // AB.

⇒ KI // (ABCD).

+ FG // BC

⇒ FG // (ABCD)

Giải bài 10 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11 có giá là AC; KI; FG song song với (ABCD)

⇒ Giải bài 10 trang 92 sgk Hình học 11 | Để học tốt Toán 11 đồng phẳng.

Lời kết : 

Các kiến thức liên quan đến vectơ trong không gian và các tính chất của nó được áp dụng rất nhiều trong việc giải các bài toán về hình học. Hãy thường xuyên ôn lại và củng cố để tránh bị lãng quên kiến thức nhé! Ngoài ra, wikihoctap còn rất nhiều các bài giảng thú vị đang chờ bạn khám phá đấy!

Xem thêm :

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button