Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên – Toán lớp 7

Những điểm, đường thẳng, góc trong tam giác có mối quan hệ tương tác với nhau. Đặc biệt là trong những tam giác đặc biệt như tam giác cân, tam giác vuông,… Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên có tính ứng dụng cực kì cao. Tham khảo nội dung bài học hôm nay để hiểu được sâu sắc hơn về vấn đề đang được nói đến nhé!

Nội dung bài học

Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu đường xiên

Từ điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó:

• • • • Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
      • Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
      • Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: AH⊥a⇒AH<AC,AH<AD,AH<AB

Các đường xiên và hình chiếu của chúng

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

• • • • Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

AH⊥a,HD>HC⇒AD>AC

• • • • Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

AH⊥a,AD>AC⇒HD>HC

• • • • Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

AB=AC⇔HB=HC

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A và tia phân giác CP. Chứng minh:

a) PA<CA

b) CP<CB

Giải:

a) Ta có:

CP là tia phân giác của góc ACB nên ACPˆ=PCBˆ.

Lại có APCˆ là góc ngoài tại điểm P của △BPC nên APCˆ>PCBˆ=ACPˆ.

Xét △APC có: ACPˆ<APCˆ⇒PA<CA.

b) Ta có: AP<AB (vì P thuộc AB )

⇒CP<CB (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

Giải bài tập SGK Toán 7 Vuông góc, đường xiên, hình chiếu

Bài 8 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2):

Cho hình 11, biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? Tại sao?

a) HB = HC;

b) HB > HC;

c) HB < HC.

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta có:

AB, AC là hai đường xiên kẻ từ A đến BC.

HB là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng BC.

HC là hình chiếu của đường xiên AC trên đường thẳng BC.

Mà AB < AC nên HB < HC (Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn).

Vậy c) đúng.

Bài 9 (trang 59 SGK Toán 7 tập 2):

Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C, …(hình 12).

Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao?

Lời giải:

+ Nhận thấy các điểm A, B, C, D, … cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi đường thẳng đó là đường thẳng d.

+ Theo định nghĩa:

MB, MC, MD, … là các đường xiên kẻ từ M đến d.

MA là đường vuông góc kẻ từ M đến d

AB là hình chiếu của đường xiên MB trên d

AC là hình chiếu của đường xiên MC trên d

AD là hình chiếu cùa đường xiên MD trên d

…

+ Theo định lý 1, MA là đường ngắn nhất trong các đường MA, MB, MC, …

+ Theo định lý 2: AB < AC < AD < … nên MB < MC < MD < … (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn).

Vậy MA < MB < MC < MD < … nên bạn Nam đã tập đúng mục đích đề ra.